2022년 3월 고2 학력평가

두 다항식 \(A = 3x^2 - 2xy + y^2\), \(B = x^2 + xy - y^2\)에 대하여 \(A-B\)를 간단히 하면?

실수 \(x\)에 대한 조건 '\(x\)는 1보다 크다.'의 부정은?

\({}_5 C_3 \times 3!\)의 값은?

그림은 두 함수 \(f: X \rightarrow Y\), \(g: Y \rightarrow Z\)를 나타낸 것이다. \((g \circ f)(2)\)의 값은?

점 \((2, 3)\)을 지나고 직선 \(3x+2y-5=0\)과 평행한 직선의 \(y\)절편은?

복소수 \(\dfrac{a+3i}{2-i}\)의 실수부분과 허수부분의 합이 3일 때, 실수 \(a\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

숫자 \(1, 2, 3, 4, 5\)가 하나씩 적혀 있는 5장의 카드가 있다. 이 5장의 카드를 모두 일렬로 나열할 때, 짝수가 적혀 있는 카드끼리 서로 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는?

두 점 \(A(a, 0)\), \(B(2, -4)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(3:1\)로 내분하는 점이 \(y\)축 위에 있을 때, 선분 \(A B\)의 길이는?

\(x+y = \sqrt{2}\), \(x y = -2\)일 때, \(\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x}\)의 값은?

점 \((-1, 0)\)을 지나고 기울기가 \(m\)인 직선이 곡선 \(y = x^2 + x + 4\)에 접할 때, 양수 \(m\)의 값은?

함수 \(y = -\sqrt{x-a} + a + 2\)의 그래프가 점 \((a, -a)\)를 지날 때, 이 함수의 치역은? (단, \(a\)는 상수이다.)

두 실수 \(a, b\)에 대하여 이차방정식 \(x^2 + a x + b = 0\)의 한 근이 \(\dfrac{b}{2} + i\)일 때, \(a b\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

전체집합 \(U = \{x | x\text{는 50 이하의 자연수}\}\)의 두 부분집합 \(A = \{x | x\text{는 6의 배수}\}\), \(B = \{x | x\text{는 4의 배수}\}\)가 있다. \(A \cup X = A\)이고 \(B \cap X = nothing\)인 집합 \(X\)의 개수는?

집합 \(X = {1, 2, 3, 4, 5}\)에 대하여 \(X\)에서 \(X\)로의 함수 \(f\)의 역함수가 존재하고 \(f(1) + 2 f(3) = 12\), \(f^{-1}(1) - f^{-1}(3) = 2\)일 때, \(f(4) + f^{-1}(4)\)의 값은?

연립부등식 \(\begin{cases} |x-k| \leq 5\ \\ x^2 - x - 12 > 0 \end{cases}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합이 7이 되도록 하는 정수 \(k\)의 값은?

삼차방정식 \(x^3 - x^2 - k x + k = 0\)의 세 근을 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)라 하자. \(\alpha\), \(\beta\) 중 실수는 하나뿐이고 \(\alpha^2 = -2 \beta\)일 때, \(\beta^2 + \gamma^2\)의 값은? (단, \(k\)는 0이 아닌 실수이다.)

실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p: x^2 + 2 a x + 1 \geq 0\), \(q: x^2 + 2 b x + 9 \leq 0\)이 있다. 다음 두 문장이 모두 참인 명제가 되도록 하는 정수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)의 개수는? · 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(p\)이다. · \(p\)는 \(tilde.op q\)이기 위한 충분조건이다.

함수 \(f(x) = \dfrac{a}{x} + b (a \neq 0)\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 \(y = |f(x)|\)는 직선 \(y = 2\)와 한 점에서만 만난다. (나) \(f^{-1}(2) = f(2) - 1\). \(f(8)\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

두 자연수 \(k, m (k \geq m)\)에 대하여 전체집합 \(U = \{x | x\text{는 }k\text{이하의 자연수}\}\)의 두 부분집합 \(A = \{x | x\text{는 }m\text{의 약수}\}\), \(B\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(B - A = {4, 7}\), \(n(A \cup B^C) = 7\). (나) 집합 \(A\)의 모든 원소의 합과 집합 \(B\)의 모든 원소의 합은 서로 같다. 집합 \(A^C \cap B^C\)의 모든 원소의 합은?

두 직선 \(l_1: 2x + y + 2 = 0\), \(l_2: x - 2y - 4 = 0\)의 교점을 \(A\), 두 직선 \(l_1, l_2\)가 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(B, C\)라 하자. 제1사분면에 있는 점 \(P\)와 삼각형 \(A B C\)의 외접원 위의 점 \(Q\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(Q\)는 삼각형 \(P B C\)의 무게중심이다. (나) 삼각형 \(P B C\)의 넓이는 삼각형 \(A B C\)의 넓이의 3배이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 두 직선 \(l_1, l_2\)는 서로 수직이다. ㄴ. 점 \(Q\)의 \(y\)좌표는 2이다. ㄷ. 점 \(P\)의 \(x\)좌표와 \(y\)좌표의 합은 10이다.

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정육각형 \(A B C D E F\)가 있다. 점 \(P\)는 점 \(A\)에서 출발하여 점 \(F\)까지 화살표 방향으로 정육각형 \(A B C D E F\)의 변을 따라 움직인다. 점 \(P\)가 점 \(A\)로부터 움직인 거리가 \(x (0 < x < 5)\)일 때, 삼각형 \(P F A\)의 넓이를 \(f(x)\)라 하자. 다음은 함수 \(f(x)\)에 대하여 \((f \circ f)(a) = \dfrac{9}{32}\)인 모든 실수 \(a\)의 값의 곱을 구하는 과정이다. \((f \circ f)(a) = f(f(a)) = \dfrac{9}{32}\)에서 \(f(a) = b\)라 하면 \(f(b) = \dfrac{9}{32}\)이고, 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 \((가)\)이므로 \(0 < b \leq (가)\)이다. 점 \(P\)가 점 \(A\)로부터 움직인 거리가 \(b\)인 점을 \(Q\)라 하면 삼각형 \(Q F A\)의 넓이는 \(\dfrac{9}{32}\)이다. 점 \(Q\)에서 직선 \(F A\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면 \(\overline{Q H} = \dfrac{9}{16}\)이므로 \(b = (나)\)이다. 같은 방법으로 \(f(a) = (나)\)를 만족시키는 \(a (0 < a < 5)\)의 값을 구하면 이다. 따라서 \((f \circ f)(a) = \dfrac{9}{32}\)를 만족시키는 모든 실수 \(a\)의 값의 곱은 \((다)\)이다. 위의 \((가), (나), (다)\)에 알맞은 수를 각각 \(p, q, r\)라 할 때, \(\dfrac{r}{p \times q}\)의 값은?

두 집합 \(A = {6, 8}\), \(B = {a, a+2}\)에 대하여 \(A \cup B = {6, 8, 10}\)일 때, 실수 \(a\)의 값을 구하시오.

점 \((5, 4)\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 후, \(y\)축의 방향으로 1만큼 평행이동한 점의 좌표는 \((a, b)\)이다. \(a b\)의 값을 구하시오.

등식 \((2x+3)(x-2) + 8 = a x(x-2) + b(x-2) + c x\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(a+b+c\)의 값을 구하시오. (단, \(a, b, c\)는 상수이다.)

곡선 \(y = x^2 - x - 1\) 위의 점 중 제2사분면에 있는 점을 중심으로 하고, \(x\)축과 \(y\)축에 동시에 접하는 원의 방정식은 \(x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0\)이다. \(a+b+c\)의 값을 구하시오. (단, \(a, b, c\)는 상수이다.)

집합 \(X = \{x | x \geq a\}\)에서 집합 \(Y = \{y | y \geq b\}\)로의 함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)이 일대일대응이 되도록 하는 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(a - b\)의 최댓값은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

두 양수 \(a, b\)에 대하여 원 \(C: (x-1)^2 + y^2 = r^2\)을 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 원을 \(C'\)이라 할 때, 두 원 \(C, C'\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 원 \(C'\)은 원 \(C\)의 중심을 지난다. (나) 직선 \(4x - 3y + 21 = 0\)은 두 원 \(C, C'\)에 모두 접한다. \(a+b+r\)의 값을 구하시오. (단, \(r\)는 양수이다.)

그림과 같이 한 개의 정삼각형과 세 개의 정사각형으로 이루어진 도형이 있다. 숫자 \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) 중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해 네 개의 정다각형 내부에 하나씩 적을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (가) 세 개의 정사각형에 적혀 있는 수는 모두 정삼각형에 적혀 있는 수보다 작다. (나) 변을 공유하는 두 정사각형에 적혀 있는 수는 서로 다르다.

최고차항의 계수가 양수인 두 다항식 \(f(x), g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(x)\)를 \(x^2 + g(x)\)로 나눈 몫은 \(x + 2\)이고 나머지는 \({g(x)}^2 - x^2\)이다. (나) \(f(x)\)는 \(g(x)\)로 나누어떨어진다. \(f(0) \neq 0\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 2인 이차함수 \(f(x)\)와 최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(g(x)\)가 있다. 방정식 \({f(x)-1}{g(x)-1} = 0\)의 모든 실근의 집합을 \(A\)라 하고, 방정식 \(f(x) = g(x)\)의 모든 실근의 집합을 \(B\)라 하면 두 실수 \(\alpha, \beta (\alpha < \beta)\)에 대하여 \(A = {\alpha, \beta}\), \(B = {\alpha, \beta + 3}\)이다. 상수 \(k\)에 대하여 방정식 \({f(x)-k}{g(x)-k} = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 3이고 이 세 실근의 합이 12일 때, \(\alpha + \beta + k\)의 값을 구하시오.