2021년 9월 고2 학력평가

\(3^{-2} \times 9^{\dfrac{3}{2}}\)의 값은?

\(\log_2 48 - \log_2 3\)의 값은?

함수 \(y = \cos \dfrac{x}{3}\)의 주기는?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_4 \times a_6 = 64\)일 때, \(a_5\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1-} f(x)\)의 값은?

\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos \theta \times \tan \theta = \dfrac{3}{5}\)이 성립할 때, \(\cos \theta\)의 값은?

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 + a_6 = 25\), \(a_8 = 23\)일 때, \(a_4\)의 값은?

함수 \(y = 3^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 그래프는 점 \((7, 5)\)를 지나고, 점근선의 방정식이 \(y = 2\)이다. \(m + n\)의 값은? (단, \(m\), \(n\)은 상수이다.)

\(\overline{AB} = \overline{AC} = 2\)인 삼각형 \(ABC\)에서 \(\angle BAC = \theta\) \((0 < \theta < \pi)\)라 하자. 삼각형 \(ABC\)의 넓이가 \(1\)보다 크도록 하는 모든 \(\theta\)의 값의 범위가 \(\alpha < \theta < \beta\)일 때, \(2 \alpha + \beta\)의 값은?

자연수 \(n\)에 대하여 곡선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = \sqrt{n} x\)가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 \(f(n)\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{{f(n)}^2}\)의 값은?

양수 \(p\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = \log_2(x - p)\), \(g(x) = 2^x + 1\)이 있다. 곡선 \(y = f(x)\)의 점근선이 곡선 \(y = g(x)\), \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 곡선 \(y = g(x)\)의 점근선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점을 \(C\)라 하자. 삼각형 \(ABC\)의 넓이가 \(6\)일 때, \(p\)의 값은?

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \log_2 a_n \text{ (n이 홀수인 경우)} \\ 2^{a_n + 1} \text{ (n이 짝수인 경우)} \end{cases}\)를 만족시킨다. \(a_8 = 5\)일 때, \(a_6 + a_7\)의 값은?

반지름의 길이가 \(2\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\)인 부채꼴이 있다. \(\theta\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 이 부채꼴의 넓이는? (가) \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) (나) 각의 크기 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각의 크기 \(8 \theta\)를 나타내는 동경이 일치한다.

\(0 \leq x \leq 5\)에서 함수 \(f(x) = \log_3(x^2 - 6x + k)\) \((k > 9)\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \(2 + \log_3 4\)가 되도록 하는 상수 \(k\)의 값은?

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \((2n-5)(2n-9)\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=2}^8 f(n)\)의 값은?

수열 \({a_n}\)을 \(a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\)이라 할 때, 다음은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(a_1 + 2 a_2 + 3 a_3 + \cdots + n a_n = \dfrac{n(n+1)}{4}(2 a_{n+1} - 1)\) \(\cdots (\star)\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n = 1\)일 때, (좌변) \(= a_1\), (우변) \(= a_2 - \) (가) \(= 1 = a_1\)이므로 \((\star)\)이 성립한다. (ii) \(n = m\)일 때, \((\star)\)이 성립한다고 가정하면 \(a_1 + 2 a_2 + 3 a_3 + \cdots + m a_m = \dfrac{m(m+1)}{4}(2 a_{m+1} - 1)\). \(n = m + 1\)일 때, \((\star)\)이 성립함을 보이자. \(a_1 + 2 a_2 + 3 a_3 + \cdots + m a_m + (m+1) a_{m+1} = \dfrac{m(m+1)}{4}(2 a_{m+1} - 1) + (m+1) a_{m+1} = (m+1) a_{m+1}(\) (나) \(+ 1) - \dfrac{m(m+1)}{4} = \dfrac{(m+1)(m+2)}{2}(a_{m+2} - \) (다) \() - \dfrac{m(m+1)}{4} = \dfrac{(m+1)(m+2)}{4}(2 a_{m+2} - 1)\). 따라서 \(n = m + 1\)일 때도 \((\star)\)이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 수를 \(p\), (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(m)\), \(g(m)\)이라 할 때, \(p + \dfrac{f(5)}{g(3)}\)의 값은?

자연수 \(n\)에 대하여 \(0 \leq x \leq 2^{n+1}\)에서 함수 \(y = 2 \sin\left(\dfrac{\pi}{2^n} x\right)\)의 그래프가 직선 \(y = \dfrac{1}{n}\)과 만나는 모든 점의 \(x\)좌표의 합을 \(x_n\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{n=1}^6 x_n\)의 값은?

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)은 \(a_1 = 1\), \(b_1 = -1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n + b_n\), \(b_{n+1} = 2 \cos \dfrac{a_n}{3} \pi\)를 만족시킨다. \(a_{2021} - b_{2021}\)의 값은?

중심이 \(O\)이고 길이가 \(10\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원의 호 위에 점 \(P\)가 있다. 그림과 같이 선분 \(PB\)의 연장선 위에 \(\overline{PA} = \overline{PC}\)인 점 \(C\)를 잡고, 선분 \(PO\)의 연장선 위에 \(\overline{PA} = \overline{PD}\)인 점 \(D\)를 잡는다. \(\angle PAB = \theta\)에 대하여 \(4 \sin \theta = 3 \cos \theta\)일 때, 삼각형 \(ADC\)의 넓이는?

그림과 같이 기울기가 \(\dfrac{1}{3}\)인 직선 \(l\)이 곡선 \(y = \log_4 a x\)와 서로 다른 두 점 \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\)에서 만나고, 곡선 \(y = b \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^x\)이 점 \(A\)를 지난다. 점 \(B\)를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선이 곡선 \(y = b \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^x\)과 만나는 점을 \(C(x_3, y_3)\)이라 하자. \(\overline{AB} = \overline{BC} = \sqrt{10}\)일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a\), \(b\)는 양수이고 \(x_1 < x_2 < x_3\)이다.) <보기> ㄱ. \(x_2 - x_1 = 3\) ㄴ. \(x_3 - x_1 = 2(y_1 - y_3)\) ㄷ. \(a^2 = 4^b\)

첫째항이 \(b\) (\(b\)는 자연수)이고 공차가 \(-4\)인 등차수열 \({a_n}\)이 있다. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(|\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k| \geq 14\)를 만족시키는 모든 \(b\)의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, \(m\)번째 수를 \(b_m\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{m=1}^{10} b_m\)의 값은?

\(10 \cos \dfrac{5}{3} \pi\)의 값을 구하시오.

\(-4 \leq x \leq -2\)에서 정의된 함수 \(y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x + 1\)의 최댓값을 구하시오.

\(1\)보다 큰 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\log_9 \sqrt{a} = \log_3 b\)일 때, \(50 \times \log_b \sqrt{a}\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_n^2 = 10\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_n (2 b_n - 3 a_n) = 16\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_n (6 a_n + 7 b_n)\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{f(x)}{2 x^2} = 1\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{f(x) - 3}{(x - 1)(x - 2)} = 4\)를 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오.

부등식 \(\log |x - 1| + \log (x + 2) \leq 1\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.

수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(S_{2n-1} = 1\) (나) 수열 \({a_n a_{n+1}}\)은 등비수열이다. 일 때, \(a_{40}\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{AB} = 3\), \(\overline{AC} = 4\)인 예각삼각형 \(ABC\)가 있다. 점 \(B\)에서 변 \(AC\)에 내린 수선의 발을 \(D\), 점 \(C\)에서 변 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(E\)라 하고, 두 선분 \(BD\), \(CE\)의 교점을 \(P\)라 하자. 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 넓이와 삼각형 \(ADE\)의 외접원의 넓이의 차가 \(4 \pi\)일 때, 삼각형 \(PDE\)의 외접원의 넓이는 \(a \pi\)이다. \(55 a\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

세 실수 \(a\) \((a \neq 0)\), \(b\), \(k\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} a x^2 + (2 b - 3) x + a^2 - 3 \text{ (x < k)} \\ -\dfrac{1}{3} a x^2 + (b + 5) x + a^2 - 1 \text{ (x \geq k)} \end{cases}\)라 하자. 함수 \(g(x) = \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow x+} \dfrac{|f(t)|}{f(t)} - \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow x-} \dfrac{|f(t)|}{f(t)}\)에 대하여 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 임의의 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \alpha} f(x)\)가 존재한다. (나) 두 함수 \(y = g(x)\)와 \(y = -4 |\log_2 \dfrac{x}{2}| + 2\)의 그래프의 서로 다른 교점의 개수는 \(5\)이다. \(k = p + q \sqrt{17}\)일 때, \(16(p + q)\)의 값을 구하시오. (단, \(p\), \(q\)는 유리수이다.)