2024년 3월 고3 학력평가

\(\sqrt[3]{54} \times 2^{\dfrac{5}{3}}\) 의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + x\) 에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(3+h) - f(3)}{2h}\) 의 값은?

\(\cos \theta > 0\) 이고 \(\sin \theta + \cos \theta \tan \theta = -1\) 일 때, \(\tan \theta\) 의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} 2x + a \text{(} x < 3 \text{)} \\ \sqrt{x+1} - a \text{(} x \geq 3 \text{)} \end{cases}\) 이 \(x = 3\) 에서 연속일 때, 상수 \(a\) 의 값은?

다항함수 \(f(x)\) 가 \(f'(x) = x(3x+2)\), \(f(1) = 6\) 을 만족시킬 때, \(f(0)\) 의 값은?

공비가 \(1\) 보다 큰 등비수열 \({a_n}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. \(\dfrac{S_4}{S_2} = 5\), \(a_5 = 48\) 일 때, \(a_1 + a_4\) 의 값은?

함수 \(f(x) = \dfrac{1}{3} x^3 - 2 x^2 - 5x + 1\) 이 닫힌구간 \([a, b]\) 에서 감소할 때, \(b - a\) 의 최댓값은? (단, \(a, b\) 는 \(a < b\) 인 실수이다.)

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\) 에 대하여 \(f(x) + g(x) = 5\), \(f(x) g(x) = 6\) 일 때, \(f'(x) + g'(x)\) 의 값은?

좌표평면 위의 두 점 \((1, \log_2 a)\), \((2, \log_2 b)\) 를 지나는 직선이 직선 \(y = \log_2 x\) 에 수직일 때, \(a b\) 의 값은? (단, \(a, b\) 는 상수이다.)

시각 \(t = 0\) 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\) 에서의 속도가 각각 \(v_1(t)\), \(v_2(t)\) 이다. 출발한 시각부터 두 점 P, Q가 다시 만날 때까지 점 Q가 움직인 거리는?

공차가 음의 정수인 등차수열 \({a_n}\) 에 대하여 \(a_6 = -2\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 |a_k| = \displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k + 42\) 일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k\) 의 값은?

실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 는 \(f(x) = \begin{cases} 3 x^2 + 3x + a \text{(} x < 0 \text{)} \\ 3x + a \text{(} x \geq 0 \text{)} \end{cases}\) 이다. 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{-4}^x f(t) d t\) 가 \(x = 2\) 에서 극솟값을 가질 때, 함수 \(g(x)\) 의 극댓값은?

그림과 같이 \(2 \overline{A B} = \overline{B C}\), \(\cos(\angle A B C) = -\dfrac{5}{8}\) 인 삼각형 ABC의 외접원을 \(O\) 라 하자. 원 \(O\) 위의 점 P에 대하여 삼각형 PAC의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 P를 Q라 할 때, \(\overline{Q A} = 6 \sqrt{10}\) 이다. 선분 AC 위의 점 D에 대하여 \(\angle C D B = \dfrac{2}{3} \pi\) 일 때, 삼각형 CDB의 외접원의 반지름의 길이는?

두 정수 \(a, b\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 는 \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 2 a x + \dfrac{a^2}{4} + b^2 \text{(} x \leq 0 \text{)} \\ x^3 - 3 x^2 + 5 \text{(} x > 0 \text{)} \end{cases}\) 이다. 실수 \(t\) 에 대하여 함수 \(y = f(x)\) 의 그래프와 직선 \(y = t\) 가 만나는 점의 개수를 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(g(t)\) 가 \(t = k\) 에서 불연속인 실수 \(k\) 의 개수가 \(2\) 가 되도록 하는 두 정수 \(a, b\) 의 모든 순서쌍 \((a, b)\) 의 개수는?

수열 \({a_n}\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n \text{(} a_n > n \text{)} \\ 3n - 2 - a_n \text{(} a_n \leq n \text{)} \end{cases}\) 을 만족시킬 때, \(a_5 = 5\) 가 되도록 하는 모든 \(a_1\) 의 값의 곱은?

방정식 \(4^x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-9}\) 을 만족시키는 실수 \(x\) 의 값을 구하시오.

\(\displaystyle\int_{0}^{2} (3 x^2 - 2x + 3) d x - \displaystyle\int_{2}^{0} (2x + 1) d x\) 의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\) 에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k + \displaystyle\sum_{k=1}^9 a_k = 137\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k - \displaystyle\sum_{k=1}^9 2 a_k = 101\) 일 때, \(a_{10}\) 의 값을 구하시오.

실수 \(a\) 에 대하여 함수 \(f(x) = x^3 - \dfrac{5}{2} x^2 + a x + 2\) 이다. 곡선 \(y = f(x)\) 위의 두 점 \(A(0, 2)\), \(B(2, f(2))\) 에서의 접선을 각각 \(l, m\) 이라 하자. 두 직선 \(l, m\) 이 만나는 점이 \(x\) 축 위에 있을 때, \(60 \times |f(2)|\) 의 값을 구하시오.

두 함수 \(f(x) = 2 x^2 + 2x - 1\), \(g(x) = \cos \dfrac{\pi}{3} x\) 에 대하여 \(0 \leq x < 12\) 에서 방정식 \(f(g(x)) = g(x)\) 를 만족시키는 모든 실수 \(x\) 의 값의 합을 구하시오.

\(a > 2\) 인 실수 \(a\) 에 대하여 기울기가 \(-1\) 인 직선이 두 곡선 \(y = a^x + 2\), \(y = \log_a x + 2\) 와 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 선분 AB를 지름으로 하는 원의 중심의 \(y\) 좌표가 \(\dfrac{19}{2}\) 이고 넓이가 \(\dfrac{121}{2} \pi\) 일 때, \(a^2\) 의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = |x^3 - 3x + 8|\) 과 실수 \(t\) 에 대하여 닫힌구간 \([t, t+2]\) 에서의 \(f(x)\) 의 최댓값을 \(g(t)\) 라 하자. 서로 다른 두 실수 \(\alpha, \beta\) 에 대하여 함수 \(g(t)\) 는 \(t = \alpha\) 와 \(t = \beta\) 에서만 미분가능하지 않다. \(\alpha \beta = m + n \sqrt{6}\) 일 때, \(m + n\) 의 값을 구하시오. (단, \(m, n\) 은 정수이다.)