2025년 6월 고1 학력평가

의 값은? (단, ) [2점]

다항식 을 로 나눈 나머지는? [2점]

이차부등식 을 만족시키는 모든 의 값의 범위가 일 때, 의 값은? [2점]

두 실수 , 에 대하여 일 때, 의 값은? (단, ) [3점]

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 4 \sqrt{3} x + a = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 \(a\)의 개수는? [3점]

연립부등식 \(\begin{cases} 3x \geq x - 3 \\ 2x + 1 \leq 11 \end{cases}\) 을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합은? [3점]

전하를 저장하는 전기적 장치를 축전기라 한다. 축전기에 저장된 전기에너지를 \(U(J)\), 전기용량을 \(C(F)\), 전압을 \(V(V)\)라 할 때, 축전기에 저장된 전기에너지는 다음과 같은 관계식이 성립한다. \( U = \dfrac{1}{2} C V^2 \) 두 축전기 A와 B에 대하여 축전기 A의 전기용량은 축전기 B의 전기용량의 \(3\)배이고, 축전기 A의 전압은 축전기 B의 전압의 \(\dfrac{2}{3}\)배이다. 두 축전기 A와 B에 저장된 전기에너지를 각각 \(U_A\)와 \(U_B\)라 할 때, \(\dfrac{U_A}{U_B}\)의 값은? [3점]

이차방정식 \(x^2 - 3x + 5 = 0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 - \alpha \beta\)의 값은? [3점]

연립방정식 \(\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x^2 + y^2 = 6 \end{cases}\) 의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은? [3점]

\(\dfrac{2026^3 + 1}{2025^2 + 2026}\)의 값은? [3점]

두 양수 \(m\), \(n\)에 대하여 직선 \(y = m x + 2\)가 두 이차함수 \(y = \dfrac{1}{3} x^2 + 5\), \(y = x^2 + 4x + n\)의 그래프에 동시에 접할 때, \(m + n\)의 값은? [3점]

다음은 사차다항식 \(P(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d\)를 조립제법을 이용하여 \(x - 2\)로 나눈 몫과 나머지를 구하고, 그 몫을 다시 \(x - 2\)로 나눈 몫과 나머지를 구하는 과정의 일부이다. \(P(3)\)의 값은? (단, \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 상수이다.) [3점]

이차방정식 \(x^2 - 7x + 5 = 0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 하자. 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차다항식 \(P(x)\)에 대하여 \(P(\alpha) = 5 \alpha - 2\), \(P(\beta) = 5 \beta - 2\) 일 때, \(P(5)\)의 값은? [3점]

그림과 같이 모든 모서리의 길이의 합이 \(16 \sqrt{2}\), 부피가 \(4 \sqrt{2}\), \(\overline{A G} = 2 \sqrt{3}\)인 직육면체 \(A B C D - E F G H\)가 있다. 사각형 \(A B C D\)의 넓이를 \(S_1\), 사각형 \(B F G C\)의 넓이를 \(S_2\), 사각형 \(A B F E\)의 넓이를 \(S_3\)이라 할 때, \(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2\)의 값은? [4점]

복소수 \(z = 1 - i\)에 대하여 \( \left(\dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{\overline{z}}\right)^n = (z - 1) i \) 를 만족시키는 \(50\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수는? (단, \(i = \sqrt{-1}\)이고, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.) [4점]

두 실수 \(a\) \((a > 2)\), \(b\)에 대하여 이차함수 \(y = x^2 - (a + 1) x + a\)의 그래프와 직선 \(y = b x - b\)가 한 점 \(A(1, 0)\)에서만 만난다. 함수 \(y = x^2 - (a + 1) x + a\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점 중 \(A\)가 아닌 점을 \(B\), 함수 \(y = x^2 - (a + 1) x + a\)의 그래프가 \(y\)축과 만나는 점을 \(C\), 직선 \(y = b x - b\)가 \(y\)축과 만나는 점을 \(D\)라 하자. 다음은 삼각형 \(O A D\)의 넓이를 \(S_1\), 사각형 \(A B C D\)의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_1 : S_2 = 2 : 7\)이 되도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정이다. (단, \(O\)는 원점이다.) 이차함수 \(y = x^2 - (a + 1) x + a\)의 그래프가 직선 \(y = b x - b\)와 한 점 \(A\)에서만 만나므로 이차방정식 \(x^2 - (a + b + 1) x + a + b = 0\)의 판별식 \(D = 0\)이다. 삼각형 \(O A D\)의 넓이 \(S_1\)과 사각형 \(A B C D\)의 넓이 \(S_2\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내면 \(S_1 = \) (가), \(S_2 = \) (나) 이다. 따라서 \(S_1 : S_2 = 2 : 7\)이 되도록 하는 \(a\)의 값은 \(a = \) (다) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(a)\), \(g(a)\)라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(p\)라 할 때, \(f(5) + g(5) + p\)의 값은? [4점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차다항식 \(P(x)\)를 \(x^2 - 1\)로 나눈 몫과 나머지는 서로 같다. \((x + 1) P(x)\)가 \(x^2 - 1\)로 나누어떨어질 때, \(P(4)\)의 값은? [4점]

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} |a x - 1| < 21 \\ 2 x + 3 > 5 \end{cases}\) 를 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수가 \(2\)일 때, 모든 정수 \(a\)의 값의 합은? [4점]

이차다항식 \(P(x) = x^2 - a x + 7 - a\)에 대하여 \( \sqrt{P(1)} + \sqrt{-P(1)} - \sqrt{P(0) - 4} \) 의 값이 실수일 때, 모든 \(P(-4)\)의 값의 합은? (단, \(a\)는 실수이다.) [4점]

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} a x^2 + (a + b) x + a + b + 1 < 0 \\ (a + b) x^2 + (a + b + 1) x + a < 0 \end{cases}\) 을 만족시키는 모든 \(x\)의 값의 범위가 \(x < p\)일 때, 옳은 것만을 <보기> 에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a\), \(b\), \(p\)는 실수이다.) ㄱ. \(a = -1\)일 때, \(p = -1\)이다. ㄴ. \(b > 0\) ㄷ. \(a^3 \leq -1\) [4점]

실수 \(k\)와 최고차항의 계수가 \(\dfrac{1}{2}\)인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) + x = k\)가 서로 다른 두 자연수 \(\alpha\), \(\beta\)를 근으로 가질 때, 함수 \(f(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(\beta) = \beta\) (나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \geq \beta\)이다. \(f(0) \leq \alpha + \beta + f(\alpha)\)일 때, 모든 \(f(6)\)의 값의 곱은? [4점]

등식 \( x^2 + (a + 1) x + 8 = x^2 + 10 x + b \) 가 모든 실수 \(x\)에 대하여 항상 성립할 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.) [3점]

사차방정식 \( x^4 - 2 x^3 - x^2 + 2 x = 0 \) 의 모든 양의 실근의 합을 구하시오. [3점]

\(k - \dfrac{3}{k} = 6\)일 때, \(k^3 - \dfrac{27}{k^3}\)의 값을 구하시오. [3점]

\(a\)가 음수일 때, \(\dfrac{\sqrt{-4 a}}{\sqrt{a} \sqrt{-4}} - \dfrac{\sqrt{-32} \sqrt{4 a}}{\sqrt{2} \sqrt{-a}}\)의 값을 구하시오. [3점]

\(x\)에 대한 부등식 \( 2 x + 1 \leq 2 x + a \leq x^2 - 2 x + 24 \) 의 해가 모든 실수가 되도록 하는 \(a\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, \(a\)는 실수이다.) [4점]

두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(-2 \leq x \leq 2\)에서 이차함수 \(f(x) = (x - a)^2 + 2 b\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자. \(M \leq 36\)이고 \(m \geq 5\)를 만족시키는 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수를 구하시오. [4점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차다항식 \(P(x)\)에 대하여 \({P(x)}^2\) ... [4점]

\(x\)에 대한 삼차방정식 \((x - 1)(x^2 + a x + b) = 0\)의 서로 다른 세 근을 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)라 하자. \((2 \alpha + 2 \beta - \gamma)^2 = -81\)일 때, \((4 + \alpha)(4 + \beta)(4 + \gamma)\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 실수이다.) [4점]

두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x\)에 대한 방정식 \(4 x^2 - 2{f(x) + g(x)} x + f(x) g(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(1\)이다. (나) \(x\)에 대한 방정식 \(4 k^2 - 2{f(x) + g(x)} k + f(x) g(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값은 \(-\dfrac{1}{2}\), \(0\), \(1\)이다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) - g(x) \geq 0\)일 때, \(f(10) + g(6)\)의 값을 구하시오. [4점]