2022년 10월 고3 학력평가

\(\sqrt{8} \times 4^{\dfrac{1}{4}}\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{0}^{2} (2x^3 + 3x^2) d x\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1 a_3 = 4\), \(a_3 a_5 = 64\)일 때, \(a_6\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow -1+} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2-} f(x)\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin \theta = 2 \cos(\pi - \theta)\)일 때, \(\cos \theta \tan \theta\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + a\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(P\), \(Q\)라 하자. \(\overline{P Q} = 6\)일 때, 양수 \(a\)의 값은?

두 함수 \(f(x) = x^2 - 4x\), \(g(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x & \quad \text{if } x < 2 \\ -x^2 + 6x - 8 & \quad \text{if } x \geq 2 \end{cases}\)의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는?

첫째항이 \(20\)인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = |a_n| - 2\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{30} a_n\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x f'(x) - 3 f(x) = 2x^2 - 8x\)를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값은?

\(a > 1\)인 실수 \(a\)에 대하여 두 곡선 \(y = -\log_2 (-x)\), \(y = \log_2 (x + 2a)\)가 만나는 두 점을 \(A\), \(B\)라 하자. 선분 \(A B\)의 중점이 직선 \(4x + 3y + 5 = 0\) 위에 있을 때, 선분 \(A B\)의 길이는?

두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(0 \leq x < 4\)에서 \(f(x) = a x^2 + b x - 24\)이다. (나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 4) = f(x)\)이다. \(1 < x < 10\)일 때, 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(5\)이다. \(a + b\)의 값은?

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = |4 \sin\left(a x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2|\) \(\left(0 \leq x < \dfrac{4 \pi}{a}\right)\)의 그래프가 직선 \(y = 2\)와 만나는 서로 다른 점의 개수는 \(n\)이다. 이 \(n\)개의 점의 \(x\)좌표의 합이 \(39\)일 때, \(n \times a\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{A B} = 2\), \(\overline{B C} = 3 \sqrt{3}\), \(\overline{C A} = \sqrt{13}\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(B C\) 위에 점 \(B\)가 아닌 점 \(D\)를 \(\overline{A D} = 2\)가 되도록 잡고, 선분 \(A C\) 위에 양 끝점 \(A\), \(C\)가 아닌 점 \(E\)를 사각형 \(A B D E\)가 원에 내접하도록 잡는다. 다음은 선분 \(D E\)의 길이를 구하는 과정이다. 삼각형 \(A B C\)에서 코사인법칙에 의하여 \(\cos(\angle A B C) =\) (가) 이다. 삼각형 \(A B D\)에서 \(\sin(\angle A B D) = \sqrt{1 - ((가))^2}\)이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 \(A B D\)의 외접원의 반지름의 길이는 (나) 이다. 삼각형 \(A D C\)에서 사인법칙에 의하여 \(\dfrac{\overline{C D}}{\sin(\angle C A D)} = \dfrac{\overline{A D}}{\sin(\angle A C D)}\)이므로 \(\sin(\angle C A D) = \dfrac{\overline{C D}}{\overline{A D}} \times \sin(\angle A C D)\)이다. 삼각형 \(A D E\)에서 사인법칙에 의하여 \(\overline{D E} =\) (다) 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\), \(r\)라 할 때, \(p \times q \times r\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(\displaystyle\int_{t}^{x} f(s) d s = 0\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(x) = x^2 (x - 1)\)일 때, \(g(1) = 1\)이다. ㄴ. 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이면 \(g(a) = 3\)인 실수 \(a\)가 존재한다. ㄷ. \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow b-} g(t) + g(b) = 6\)을 만족시키는 실수 \(b\)의 값이 \(0\)과 \(3\)뿐이면 \(f(4) = 12\)이다.

수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 두 자연수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(S_n = p n^2 - 36 n + q\)일 때, \(S_n\)이 다음 조건을 만족시키도록 하는 \(p\)의 최솟값을 \(p_1\)이라 하자. 임의의 두 자연수 \(i\), \(j\)에 대하여 \(i \neq j\)이면 \(S_i \neq S_j\)이다. \(p = p_1\)일 때, \(|a_k| < a_1\)을 만족시키는 자연수 \(k\)의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 \(q\)의 값의 합은?

\(\log_2 96 + \log_{\dfrac{1}{4}} 9\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 - 3 x^2 + a x + 10\)이 \(x = 3\)에서 극소일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (k + 1)^2 - \displaystyle\sum_{k=1}^5 (k - 1)^2\)의 값을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 4 t^3 - 48 t\)이다. 시각 \(t = k\) \((k > 0)\)에서 점 \(P\)의 가속도가 \(0\)일 때, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = k\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리를 구하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

최고차항의 계수가 \(1\)이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(5)\)의 최댓값을 구하시오. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{|f(x) - 1|}{x}\)의 값이 존재한다. (나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x f(x) \geq -4 x^2 + x\)이다.

그림과 같이 \(a > 1\)인 실수 \(a\)에 대하여 두 곡선 \(y = a^{-2x} - 1\), \(y = a^x - 1\)이 있다. 곡선 \(y = a^{-2x} - 1\)과 직선 \(y = -\sqrt{3} x\)가 서로 다른 두 점 \(O\), \(A\)에서 만난다. 점 \(A\)를 지나고 직선 \(O A\)에 수직인 직선이 곡선 \(y = a^x - 1\)과 제1사분면에서 만나는 점을 \(B\)라 하자. \(\overline{O A} : \overline{O B} = \sqrt{3} : \sqrt{19}\)일 때, 선분 \(A B\)의 길이를 구하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 구간 \((-\infty, t]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 \(m_1\)이라 하고, 구간 \([t, \infty)\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 \(m_2\)라 할 때, \(g(t) = m_1 - m_2\)라 하자. \(k > 0\)인 상수 \(k\)와 함수 \(g(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(g(t) = k\)를 만족시키는 모든 실수 \(t\)의 값의 집합은 \(\{t | 0 \leq t \leq 2\}\)이다. \(g(4) = 0\)일 때, \(k + g(-1)\)의 값을 구하시오.