2023년 4월 고3 학력평가 (기하)

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 \(A B C D\)에서 두 선분 \(A D\), \(C D\)의 중점을 각각 \(M\), \(N\)이라 할 때, \(|\overrightarrow{B M} + \overrightarrow{D N}|\)의 값은?

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{8} = 1\)의 한 점근선의 방정식이 \(y = \sqrt{2} x\)일 때, 이 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? (단, \(a\)는 양수이다.)

그림과 같이 타원 \(\dfrac{x^2}{40} + \dfrac{y^2}{15} = 1\)의 두 초점 중 \(x\)좌표가 양수인 점을 \(F\)라 하고, 타원 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자. \(\overline{O F} = \overline{F Q}\)일 때, 삼각형 \(P O Q\)의 넓이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

두 초점이 \(F(3 \sqrt{3}, 0)\), \(F'(-3 \sqrt{3}, 0)\)인 쌍곡선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)에 대하여 직선 \(P F'\)이 \(y\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자. 삼각형 \(P Q F\)가 정삼각형일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는?

그림과 같이 두 점 \(F(5, 0)\), \(F'(-5, 0)\)을 초점으로 하는 타원이 \(x\)축과 만나는 점 중 \(x\)좌표가 양수인 점을 \(A\)라 하자. 점 \(F\)를 중심으로 하고 점 \(A\)를 지나는 원을 \(C\)라 할 때, 원 \(C\) 위의 점 중 \(y\)좌표가 양수인 점 \(P\)와 타원 위의 점 중 제2사분면에 있는 점 \(Q\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(P F'\)은 원 \(C\)에 접한다. (나) 두 직선 \(P F'\), \(Q F'\)은 서로 수직이다. \(\overline{Q F'} = \dfrac{3}{2} \overline{P F}\)일 때, 이 타원의 장축의 길이는? (단, \(\overline{A F} < \overline{F F'}\))

초점이 \(F\)인 포물선 \(C : y^2 = 4 x\) 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 \(P\)가 있다. 선분 \(P F\)를 지름으로 하는 원을 \(O\)라 할 때, 원 \(O\)는 포물선 \(C\)와 서로 다른 두 점에서 만난다. 원 \(O\)가 포물선 \(C\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\), 점 \(P\)에서 포물선 \(C\)의 준선에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. \(\angle Q H P = \alpha\), \(\angle H P Q = \beta\)라 할 때, \(\dfrac{\tan \beta}{\tan \alpha} = 3\)이다. \(\dfrac{\overline{Q H}}{\overline{P Q}}\)의 값은?

그림과 같이 두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) \((c > 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{27} = 1\) 위의 점 \(P\left(\dfrac{9}{2}, k\right)\) \((k > 0)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자. 두 점 \(F\), \(F'\)을 초점으로 하고 점 \(Q\)를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선이 선분 \(P F'\)과 만나는 두 점을 \(R\), \(S\)라 하자. \(\overline{R S} + \overline{S F} = \overline{R F} + 8\)일 때, \(4 \times (a^2 + k^2)\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 양수이고, 점 \(R\)의 \(x\)좌표는 점 \(S\)의 \(x\)좌표보다 크다.)

좌표평면에서 포물선 \(y^2 = 2 x - 2\)의 꼭짓점을 \(A\)라 하자. 이 포물선 위를 움직이는 점 \(P\)와 양의 실수 \(k\)에 대하여 \( \overrightarrow{O X} = \overrightarrow{O A} + \dfrac{k}{|\overrightarrow{O P}|} \overrightarrow{O P} \) 를 만족시키는 점 \(X\)가 나타내는 도형을 \(C\)라 하자. 도형 \(C\)가 포물선 \(y^2 = 2 x - 2\)와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(m^2\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)