KMO 고등부 2차 2017 (제31회)

정팔각형 \(P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7 P_8\)의 대각선 20개의 집합을 \(U\)라고 하자. 다음 두 조건을 모두 만족하는 집합 \(S\)의 개수를 구하여라. (i) \(S\)는 \(U\)의 부분집합이다. (ii) \(overline{P_i P_j}, \ overline{P_j P_k} \in S\)이고 \(i \neq k\)이면, \(overline{P_i P_k} \in S\)이다.

다음 식을 만족하는 정수 \(n\)과 양의 정수 \(k\), \(m\)이 존재하도록 하는 소수 \(p\)를 모두 구하여라. \( (mk^2+2)^p - (m^2+2k^2)^m p + 2 = n^2 \)

이등변 삼각형이 아닌 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)와 만나는 점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하자. 변 \(BC\)의 수직이등분선이 삼각형 \(ABC\)의 외접원과 만나는 두 점 중 직선 \(BC\)에 대하여 점 \(A\)와 같은 쪽에 있는 점을 \(P\), 다른 쪽에 있는 점을 \(Q\)라 하자. 점 \(D\)를 지나고 직선 \(AQ\)와 평행한 직선이 직선 \(EF\)와 만나는 점을 \(R\)이라 하자. 직선 \(EF\)와 직선 \(PQ\)의 교점이 삼각형 \(BCR\)의 외접원 위에 있음을 보여라.

다음과 같이 함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)을 정의하자. \( f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x-1} & (x > 1) \\ 1 & (x = 1) \\ \dfrac{x}{1-x} & (x < 1) \end{cases} \) 양의 무리수 \(x_1\)이 어떤 정수 계수 이차방정식의 해라고 하자. 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(x_{n+1} = f(x_n)\)으로 정의하자. 이 때, \(x_k = x_\ell\)을 만족하는 서로 다른 두 양의 정수 \(k\), \(\ell\)이 존재함을 보여라. (단, \(\mathbb{R}\)은 실수 전체의 집합이다.)

소수 \(p\)가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하는 정수 \(a\), \(b\)가 존재함을 보여라. 모든 정수 \(m\)에 대하여 \(m^3 + 2017am + b\)는 \(p\)의 배수가 아니다.

사각형 \(ABCD\)에서 \(\\angle ACB = \\angle ADB = 90^\circ\)이며, \(overline{CD} < overline{BC}\)이다. \(AC\)와 \(BD\)의 교점을 \(E\)라 하고, 선분 \(BD\)의 수직이등분선이 \(BC\)와 만나는 점을 \(F\)라 하자. 점 \(F\)를 중심으로 하고 점 \(B\)를 지나는 원은 선분 \(AB\)와 점 \(P\) (\(\neq B\))에서 만나고, 선분 \(AC\)와 점 \(Q\)에서 만난다. 선분 \(EP\)의 중점을 \(M\)이라 하자. 삼각형 \(EPQ\)의 외접원이 \(AB\)에 접할 필요충분조건이 세 점 \(B\), \(M\), \(Q\)가 한 직선 위에 있는 것임을 보여라.

다음 조건을 만족하는 함수 \(f: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}\)이 존재하도록 하는 실수 \(c\)를 모두 구하여라. 음이 아닌 모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 \(f(x+y^2) \geq c f(x) + y\) (단, \(\mathbb{R}_{\geq 0}\)은 음이 아닌 실수 전체의 집합이며, \(\mathbb{R}\)은 실수 전체의 집합이다.)

양의 정수 \(n\)에 대하여, 총 \(2n\)명의 학생이 있는 학교가 있다. 이 학교 학생들로 이루어진 집합 \(X\)에 대하여, \(X\)에 속한 임의의 서로 다른 두 학생이 서로 아는 사이이면 그 집합 \(X\)를 잘 짜인 집합이라 부르자. 잘 짜인 집합의 학생 수의 최댓값이 \(n\) 이하일 때, 이 학교에서 만들 수 있는 잘 짜인 집합의 개수의 최댓값을 구하여라. 단, 공집합이나 학생 1명의 집합 역시 잘 짜인 집합이다.