KMO 중등부 2차 2016 (제30회)

양의 실수 \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\)이 다음 두 조건을 모두 만족한다. (i) 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_1^2 \times a_2^2 \times \cdots \times a_n^2 - 3\) (ii) \(\dfrac{1}{2}(a_1 + \sqrt{a_2 - 1})\)은 양의 정수 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{1}{2}(a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n + \sqrt{a_{n+1} - 1})\)은 양의 정수임을 보여라.

이등변삼각형이 아닌 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)와 접하는 점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하고, 내심을 \(I\)라 하자. 직선 \(AD\)와 내접원의 교점을 \(G\) (\(\neq D\))라 하고, 점 \(G\)에서의 내접원의 접선이 변 \(AC\)와 만나는 점을 \(H\)라 하고, 직선 \(IH\)와 \(AD\)의 교점을 \(K\)라 하자. 점 \(I\)에서 직선 \(AD\)에 내린 수선의 발을 \(L\)이라 할 때, \(overline{IE} \cdot overline{IK} = overline{IC} \cdot overline{IL}\)임을 보여라.

총 \(n\)명의 선수가 참가한 대회에서, 각각의 선수가 다른 모든 선수와 정확히 한 번씩 경기를 하여 무승부없이 승패를 결정하였다. 어떤 \(k\) (\(\leq n\))명의 선수에 대하여 각 선수가 자기보다 뒤쪽에 있는 모든 선수에게 이긴 경우가 되도록 한 줄에 세울 수 있으면 그 \(k\)명의 선수의 집합을 서열이 정해진 집합이라고 부르자. 대회에 참가한 각 선수에 대하여 그 선수에게 진 선수들의 집합이 모두 서열이 정해진 집합이라 하자. 이때, 선수 전체의 집합을 서열이 정해진 집합 3개 이하로 나눌 수 있음을 보여라.

다음 식의 값이 정수가 되는 모든 양의 정수 \(n\)을 구하여라. \( \dfrac{n(n+2016)(n+2 \cdot 2016)(n+3 \cdot 2016) \cdots (n+2015 \cdot 2016)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2016} \)

양의 정수 \(n\)에 대하여, 다음 식을 \(n\)에 대한 다항식으로 표현할 수 있음을 보여라. \( [\sqrt[2]{1}] + [\sqrt[2]{2}] + [\sqrt[2]{3}] + \cdots + [\sqrt[2]{n^2}] \) (단, 실수 \(x\)에 대하여 \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 최대 정수)

원 \(O_1\)이 삼각형 \(ABC\)의 변 \(AC\), \(BC\)와 각각 점 \(D\), \(E\)에서 접하고, 원 \(O_1\)을 포함하는 원 \(O_2\)가 변 \(BC\), \(AB\)와 각각 점 \(E\), \(F\)에서 접한다. 직선 \(DE\)와 원 \(O_2\)의 교점 \(P\) (\(\neq E\))에서의 원 \(O_2\)의 접선이 직선 \(AB\)와 만나는 점을 \(Q\)라 하자. 점 \(O_1\)을 지나고 직선 \(BO_2\)와 평행한 직선이 직선 \(BC\)와 만나는 점을 \(G\), 직선 \(EQ\)와 \(AC\)의 교점을 \(K\), 직선 \(KG\)와 \(EF\)의 교점을 \(L\), 직선 \(EO_2\)와 원 \(O_2\)의 교점을 \(N\) (\(\neq E\)), 직선 \(LO_2\)와 \(FN\)의 교점을 \(M\)이라 하자. 점 \(N\)이 선분 \(FM\)의 중점일 때, \(overline{BG} = 2overline{EG}\)임을 보여라.

양의 정수 \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\), \(a_9\)가 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_9 = 90\)을 만족할 때, 다음 식의 최댓값을 구하여라. \( \dfrac{1^{a_1} 2^{a_2} \cdots 9^{a_9}}{a_1! a_2! \cdots a_9!} \) (단, \(n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n\))

좌표평면에서 한 움직이는 점이 오른쪽 또는 위로 1씩 움직일 수 있다고 할 때, 이 점이 좌표 \((0,0)\)에서 출발하여 \((1,0)\), \((2,1)\), \(\cdots\), \((n, n-1)\) 어느 점도 거치지 않고 \(2n\)번 움직여서 좌표 \((n,n)\)에 이르는 모든 경로의 수를 \(N\)이라 하자. 이러한 \(N\)개의 경로 중 \(k\)번째에는 오른쪽으로 움직이고 \(k+1\)번째에는 위로 움직인 경로의 수를 \(a_k\)라 할 때 \( \dfrac{1}{N}(a_1 + a_2 + \cdots + a_{2n-1}) \) 의 값을 구하여라.