KMO 중등부 2차 2015 (제29회)

이등변 삼각형이 아닌 예각 삼각형 \(ABC\)의 외심을 \(O\), 변 \(AC\)의 중점을 \(M\)이라 하고, 점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(D\)라 하자. 삼각형 \(OAM\)의 외접원과 직선 \(DM\)의 교점을 \(P(\neq M)\)라 하자. 세 점 \(B\), \(O\), \(P\)는 한 직선 위에 있음을 보여라.

양의 정수 \(m\)에 대하여, 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 \((x, y)\)의 개수가 \(0\) 또는 짝수임을 보여라. (i) \(x^2 - 3y^2 + 2 = 16m\) (ii) \(2y \leq x - 1\)

음 아닌 모든 정수 \(i\)에 대하여 숫자 \(2^i\)이 적힌 카드가 각각 \(7\)장씩 있다. 양의 정수 \(n\)에 대하여 카드에 적힌 수의 합이 \(n\)이 되도록 카드를 선택하는 방법의 개수를 구하여라. (단, 방법의 개수를 구할 때, 같은 숫자가 적힌 카드를 구별하지 않는다.)

실수 \(a\), \(b\), \(c\), \(x\), \(y\)가 \(a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 = 1\)을 만족할 때, \((ax + by)^2 + (bx + cy)^2\)의 최댓값을 구하여라.

예각 삼각형 \(ABC\)의 내심과 내접원을 각각 \(I\), \(\\Gamma\)라 하자. 삼각형 \(IBC\)의 외접원과 원 \(\\Gamma\)의 두 교점 중 \(B\)와 가까운 점을 \(D\), \(C\)와 가까운 점을 \(E\)라 하자. 원 \(\\Gamma\)와 직선 \(BE\)의 교점을 \(K(\neq E)\)라 하고, 직선 \(CD\)와 선분 \(BI\), 원 \(\\Gamma\)의 교점을 각각 \(T\), \(L(\neq D)\)이라 하자. 점 \(T\)를 지나고 선분 \(BI\)와 수직인 직선이 원 \(\\Gamma\)와 만나는 두 점 중 삼각형 \(IBC\) 내부의 점을 \(P\)라 하자. 점 \(P\)에서의 원 \(\\Gamma\)의 접선, 직선 \(KL\), 직선 \(BI\)가 한 점에서 만남을 보여라.

다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)을 모두 구하여라. (단, \(\mathbb{R}\)은 실수 전체의 집합) (i) 서로 다른 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 \(f(x) \neq f(y)\) (ii) 모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여 \(f(x + f(f(-y))) = f(x) + f(f(y))\)

차수가 일차 이상이며, 계수가 정수인 다항식 \(f(x)\)에 대하여 다음 조건을 만족하는 소수 \(p\)가 무한히 많음을 보여라. (조건) \(f(n) \neq 0\)이고 \(|f(n)|\)이 \(p\)의 배수가 되는 정수 \(n\)이 존재한다.

양의 정수 \(n\)이 주어져 있다. 다음 세 조건을 모두 만족하는 \(m\)개의 집합 \(F_1\), \(F_2\), \(\ldots\), \(F_m\)이 존재하면 \(m \leq n\)임을 보여라. (단, 집합 \(A\), \(B\)에 대하여 \(|A|\)는 \(A\)의 원소의 개수이고, \(A - B\)는 \(A\)의 원소 중 \(B\)의 원소가 아닌 것의 집합이다.) (i) 모든 \(1 \leq i \leq m\)에 대하여 \(F_i \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}\) (ii) \(|F_1| \leq |F_2| \leq \cdots \leq |F_m|\) (iii) 모든 \(1 \leq i < j \leq m\)에 대하여 \(|F_i - F_j| = 1\)