KMO 고등부 1차 2016

삼차 방정식 \(x^3 - 6x^2 + (\sqrt{2} + 8)x - 2\sqrt{2} = 0\)의 세 실근을 \(\\alpha\), \(\\beta\), \(\\gamma\) \((\\alpha < \\beta < \\gamma)\)라 할 때 \(\\alpha^2+\\beta^2+\\gamma^2+2\\alpha\\gamma\) 의 값을 구하여라.

다음 수가 정수가 되도록 하는 양의 정수 \(k\) 중 가장 큰 것을 구하여라. \( \dfrac{1000^{2016} - 271^{2016}}{3^k} \)

다음과 같이 좌표평면의 점으로 이루어진 집합 \(P\), \(Q\)를 생각하자. \( P = \{(1,1), (2,1), (4,1), (8,1), (16,1)\} \), \( Q = \{(1,0), (2,0), (4,0), (8,0), (16,0)\} \) \(P\) 와 \(Q\)를 일대일대응 시키고, 대응된 두 점을 선분으로 모두 연결한다. 이 5개의 선분들의 교점의 개수가 정확히 3개가 되도록 하는 일대일대응의 개수를 구하여라.

삼각형 \(ABC\) 의 세 변의 길이는 각각 \(AB = 5\sqrt{2}\), \(BC = 17\), \(CA = 13\)이다. 변 \(BC\) 위에 점 \(D\), \(E\) 를 \(BD = 5\), \(DE = 5\), \(EC = 7\)이 되도록 잡고 삼각형 \(ABE\), \(ADC\) 의 내접원을 각각 \(O_1\), \(O_2\) 라 하자. 원 \(O_1\) 과 \(O_2\) 의 교점 중 \(BC\) 에 가까운 점을 \(X\), 직선 \(BC\) 가 원 \(O_1\), \(O_2\) 와 접하는 점을 각각 \(Y\), \(Z\) 라 하자. 삼각형 \(XYZ\) 의 외접원의 반지름이 \(R\) 일 때, \((R^2 + 10)^2\) 의 값을 구하여라.

네 정수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 다음 세 조건을 모두 만족할 때, \(a + b + c + d\)의 값을 구하여라. (i) \(10 \leq a, b, c, d \leq 20\) (ii) \(ab - cd = 58\) (iii) \(ad - bc = 110\)

\(n = 2^{2016} + 73\)일 때, \(2^n + 1\)을 \(16^{1025} + 1\)로 나눈 나머지를 구하여라.

50개의 수 \( \dfrac{2}{1}, \dfrac{2}{2}, \dfrac{2}{3}, \ldots, \dfrac{2}{50} \) 중 짝수개(2개 이상)의 서로 다른 수를 선택하는 경우의 수를 \(N\) 이라 하자. 각 경우마다 선택한 수를 모두 곱한다. 이렇게 하여 얻은 \(N\) 개의 수를 모두 더한 값을 구하여라.

각 \(A\)의 크기가 \(30°\)이고 변 \(BC\) 의 길이가 60인 삼각형 \(ABC\) 의 변 \(BC\) 위에 \(BP = 10\), \(BQ = 11\)인 점 \(P\) 와 \(Q\)가 있다. 삼각형 \(ABC\) 의 외접원을 \(O\)라 하고, 점 \(P\) 를 지나고 \(B\) 와 \(C\) 에서 원 \(O\)에 각각 내접하는 두 원의 교점을 \(P'\) (\(\neq P\))이라 하고, 점 \(Q\)를 지나고 \(B\)와 \(C\) 에서 원 \(O\) 에 각각 내접하는 두 원의 교점을 \(Q'\) (\(\neq Q\))이라 하고, 직선 \(PP'\) 과 \(QQ'\) 의 교점을 \(T\) 라 하자. 삼각형 \(PQT\) 의 넓이가 \(x\)일 때, \(x^2\) 의 값을 구하여라.

양의 정수 \(n\)의 각 자리의 수의 합이 \( \dfrac{1}{22} ( -n^2 + 123n - 2016 ) \) 이다. \(n\)을 구하여라.

다음을 만족하는 소수 \(p\)를 모두 더한 값을 구하여라. \(p\)가 \(181^{2p} + 181^p + 13\)의 약수이다.

집합 \(X = \{1, 2, \ldots, 12\}\) 에서 정의된 일대일대응 \(f : X \to X\) 중 다음 조건을 만족하는 것의 개수를 1000으로 나눈 나머지를 구하여라. \(f(k)\)와 \(k\)는 서로소이다. \((k = 1, 2, \ldots, 12)\)

사각형 \(ABCD\) 는 이 사각형의 외부에 있는 점 \(O\) 를 중심으로 하는 원에 내접하고, \(\\angle AOB = 144°\), \(\\angle CBD = 27°\) 이다. 두 대각선 \(AC\) 와 \(BD\) 의 교점에서 점 \(O\) 까지 거리가 20이고, \(AC\) 의 중점과 \(BD\) 의 중점 사이의 거리가 \(x\)일 때, \(x^2\) 의 값을 구하여라.

삼각형 \(ABC\) 에서 \(BC^2 = AB^2 + AC \cdot BC\) 이고 \(\\angle ACB = 20°\) 이다. 꼭짓각 \(\\angle BAC\) 의 크기를 \(x°\) 라 할 때, \(x\)를 구하여라.

좌표평면에서 점 \(P(x, y)\)는 \(A(0, 0), B(63, 0), C(63, 56), D(0, 56)\) 를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 내부에 있다. 다음 조건을 만족하는 점 \(P\) 에 대하여 \(PA\)의 값 중 가장 작은 것을 구하여라. \(x\), \(y\) 는 모두 정수이고, \(PA\), \(PB\), \(PC\), \(PD\) 도 모두 정수이다.

모든 \(k\) 에 대하여, \(a_k\) 는 \(0 \leq a_k \leq 6\)인 정수이다. 다음 식을 만족하는 순서쌍 \((a_0, \ldots, a_{100})\)의 개수를 구하여라. \( 2016 \times 5^{96} = a_0 + a_1 \ldots + a_{25}^2 + \ldots + a_{100}^{100} \)

정육각형 \(ABCDEF\) 에 대하여 점 \(A\)를 중심으로 하고 점 \(B\) 를 지나는 원을 \(O_1\), 점 \(D\)를 중심으로 하고 점 \(B\) 를 지나는 원을 \(O_2\), 점 \(E\) 를 중심으로 하고 \(AD\)와 \(BF\) 의 교점을 지나는 원을 \(O_3\)라 하자. \(O_1\)과 \(O_3\)의 두 교점을 \(G\), \(H\) 라 하고 \(O_2\) 와 \(O_3\) 의 두 교점을 \(J\), \(K\) 라 하자. \(GH = 10\)일 때, \(JK^2\) 의 값을 구하여라.

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\) 중 가장 큰 것을 구하여라. \((x^2 + 3xy + 9y^2)^n = 3^{400}(xy)^{398}\) 을 만족하는 양의 정수 \(x, y\) 가 존재한다.

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(p\) 중 1000을 넘지 않는 가장 큰 것을 구하여라. 삼차방정식 \(x^3 - px^2 + qx - (p^2 - 4q + 4) = 0\) 의 세 근이 모두 양의 정수가 되는 양의 정수 \(q\)가 존재한다.

다음 두 조건을 모두 만족하는 집합의 순서쌍 \((S_1, S_2, \ldots, S_8)\)의 개수를 1000으로 나눈 나머지를 구하여라. (i) \(S_k \subseteq \{1, 2, \ldots, 20\}\) \((k = 1, 2, \ldots, 8)\) (ii) \(S_k \cap S_{k+1} = \emptyset\) \((k = 1, 2, \ldots, 7)\)

사각형 \(ABCD\) 가 중심이 \(O\) 인 원에 내접하고, 두 직선 \(AB\) 와 \(CD\) 가 점 \(E\) 에서 만난다. 선분 \(CD\) 의 중점을 \(M\) 이라 하고, 삼각형 \(BEC\) 의 외접원과 삼각형 \(OEM\) 의 외접원이 점 \(F(\neq E)\) 에서 만난다고 하자. \(\\angle OAE = 75°\), \(\\angle OFD = 25°\), \(\\angle FDA = 20°\) 이다. \(\\angle FEC = x°\), \(\\angle DAC = y°\) 라 할 때, \(x - y\) 의 값을 구하여라.