KMO 고등부 2차 1997 (제11회)

자연수 \(n\)을 양의 홀수들의 합으로 표시하는 방법의 수 \(f(n)\)을 구하여라. (합하는 순서가 다르면 다른 방법으로 간주한다. 예를 들면, \(1+3+1\)과 \(3+1+1\)은 서로 다른 방법이다.)

자연수 \(n\)에 대하여, \( a_n = \\displaystyle\sum_{k=0}^{[\dfrac{n}{2}]} {}_{n-2}C_k \left(-\dfrac{1}{4}\right)^k \) 라 할 때, \(a_{1997}\)을 구하라. 실수 \(x\)에 대하여 \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 최대의 정수이다.

볼록육각형 \(ABCDEF\)에서 \(AB=BC\), \(CD=DE\), \(EF=FA\)일 때, \( \dfrac{BC}{BE} + \dfrac{DE}{DA} + \dfrac{FA}{FC} \geq \dfrac{3}{2} \) 임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.

임의의 홀수인 소수 \(p\)와 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여, \( 1 + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + \cdots + \dfrac{1}{(p-1)^3} = \dfrac{a}{b} \) 일 때, \(a\)는 \(p\)의 배수임을 증명하라.

임의의 삼각형 \(ABC\)의 꼭지점 \(A\), \(B\), \(C\)에 대한 대변의 길이를 각각 \(a\), \(b\), \(c\)라 하고 꼭지점 \(A\), \(B\), \(C\)에서 각각의 대변에 내린 중선의 길이를 각각 \(x\), \(y\), \(z\)라 하자. 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 \(T\)라 할 때, \( \dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} + \dfrac{c^2}{z} \geq \sqrt{\sqrt{3}T} \) 임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.

모든 실수 \(x\), \(y\)에 대하여, (i) \(x^{100} + y^{100} \leq p(x,y) \leq 101(x^{100} + y^{100})\) 와 (ii) \((x-y)p(x,y) = (x-1)p(x,1) + (1-y)p(1,y)\) 를 만족시키는 \(x\), \(y\)에 관한 다항식 \(p(x,y)\)를 모두 구하라.

삼각형 \(ABC\)의 외부의 점 \(X\), \(Y\), \(Z\)에 대하여, \(\\angle BAZ = \\angle CAY\), \(\\angle CBX = \\angle ABZ\), \(\\angle ACY = \\angle BCX\)일 때, 직선 \(AX\), \(BY\), \(CZ\)는 한점에서 만남을 증명하라.

임의의 서로 다른 네 개의 자연수 \(x\), \(y\), \(z\), \(w\)에 대하여, \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\), \(w^2\)이 등차수열을 이룰 수 없음을 증명하라.