KMO 고등부 2차 2011 (제25회)

반지름의 길이가 같은 두 원 \(O\), \(O'\)이 서로 다른 두 점 \(A\), \(B\)에서만 만난다고 하자. 원 \(O\) 위의 점 \(P(\neq A, B)\), 원 \(O'\) 위의 점 \(Q(\neq A, B)\)에 대하여 \(R(\neq B)\)을 \(PAQR\)이 평행사변형이 되도록 택하자. 네 점 \(B\), \(R\), \(P\), \(Q\)가 한 원 위에 있으면 \(PQ = OO'\)임을 보여라.

서로소인 두 양의 정수 \(x\), \(y\)에 대하여, \(x + 3y^2\)이 완전제곱수이면 \(x^2 + 9y^4\)이 완전제곱수가 아님을 보여라.

실수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 두 조건 \(a + b + c + d = 19\)와 \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 91\)을 만족할 때, \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\)의 최댓값을 구하여라.

양의 정수 \(k\)와 \(n\)에 대해, 원 위에 \(kn\)개의 서로 다른 점 \(P_1\), \(P_2\), \(\ldots\), \(P_{kn}\)이 시계방향으로 배열되어 있다. 각 점에 \(k\)개의 색 \(c_1\), \(c_2\), \(\ldots\), \(c_k\) 중 하나를 칠할 때, 다음 조건을 모두 만족시키도록 칠하는 방법의 수를 구하여라. (1) 각각의 색으로 칠할 점의 개수는 \(n\)이다. (2) 임의의 \(i \neq j\)에 대하여, 점 \(P_a\)와 \(P_b\)에 \(c_i\)를 칠하고 점 \(P_c\)와 \(P_d\)에 \(c_j\)를 칠한다면 선분 \(P_a P_b\)와 \(P_c P_d\)는 서로 만나지 않는다.

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\) 중에서 \(3^8\)보다 작은 것의 개수를 구하여라. 양의 정수 \(k\) (\(1 \leq k \leq n\)) 중에서 \(\dfrac{n!}{(n-3k)! \, k! \, 3^k + 1}\)이 정수가 되지 않도록 하는 \(k\)의 개수가 \(216\)이다.

삼각형 \(ABC\)의 내접원이 세 변 \(BC\), \(CA\), \(AB\)와 접하는 점을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하자. 삼각형 \(ABC\)의 내접원 위에 있고 삼각형 \(AEF\)의 내부에 있는 점 \(P\)에 대하여, 선분 \(PB\)와 선분 \(DF\)의 교점을 \(X\), 선분 \(PC\)와 선분 \(DE\)의 교점을 \(Y\)라 하고 선분 \(EX\)와 선분 \(FY\)의 교점을 \(Q\)라 할 때, 두 점 \(A\)와 \(Q\)는 동시에 직선 \(DP\) 위에 있거나 직선 \(DP\)를 중심으로 서로 반대편에 있음을 보여라.

서로 다른 \(nr\)개의 양의 정수를 학생 \(n\)명에게 각각 \(r\)개씩 나누어 주었다. 이 때 다음 조건을 만족시키도록 학생들을 \(4r\)개 이하의 반으로 편성할 수 있음을 증명하여라. (단 \(n\), \(r\)은 양의 정수) 임의의 학생 \(A\)가 양의 정수 \(m\)을 가지고 있으면, \(A\)가 아닌 학생 중 \((m-1)!\)보다 크고 \((m+1)! + 1\)보다 작은 양의 정수를 가진 학생은 \(A\)와 같은 반이 될 수 없다.

실수 \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_{25}\)이 각각 \(0 \leq x_i \leq i\) \((i = 1, 2, \ldots, 25)\)을 만족할 때, \(x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_{25}^3 - (x_1 x_2 x_3 + x_2 x_3 x_4 + \cdots + x_{25} x_1 x_2)\)의 최댓값을 구하여라.