KMO 고등부 1차 2014

다항식 \(f(x)\)와 실수 \(a, b, c\)에 대하여 \(f(x)(x-1)^{20} = (x^2 + ax + 1)^{30} + (x^2 + bx + c)^{10}\) 일 때, \(f(1) + a^2 + b^2 + c^2\)의 값을 구하여라.

아래와 같은 \(2 \times 6\) 격자의 각 칸에 1 또는 2 중 하나를 써 넣으려고 한다. 각 \(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6\)에 대하여 \(i\)번째 열의 두 수의 곱을 \(c_i\)라 할 때, \(c_1 + c_2 + c_3 + c_4 + c_5 + c_6\)이 짝수가 되도록 하는 방법의 수를 구하여라.

양의 정수 중 6의 배수가 아니고 2014 이하인 수들의 곱을 \(a\)라 하자. \(\dfrac{a}{5^k}\)가 정수가 되도록 하는 양의 정수 \(k\) 중 가장 큰 것을 구하여라.

선분 \(AB\) 위에 \(overline{AS}=3\), \(overline{SB}=4\)인 점 \(S\)가 있다. \(\\angle XBS=\\angle AXS\)를 만족하는 점 \(X\)에서 직선 \(AB\)까지 거리를 \(d\)라 할 때, \(d^2\)의 최댓값을 구하여라.

집합 \(\{1,2,3,...,8\}\)의 부분집합 중에서 연속한 4개의 수를 포함한 것의 개수를 구하여라.

최고차항의 계수가 1인 4차 다항식 \(f(x)\)가 \(f(2^n+1)=8^n+1 \quad \quad (n=1,2,3,4)\) 을 만족할 때, \(f(1)\)의 값을 구하여라.

삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이가 \(overline{AB} = 5\), \(overline{BC} = 7\), \(overline{CA} = 8\)이다. 직선 \(AB\)까지의 거리가 3이고 직선 \(BC\)까지의 거리가 2인 점이 여러 개 있다. 이러한 점들에서 직선 \(CA\)까지 거리의 총합을 \(x\)라 할 때, \(x^2\)의 값을 구하여라.

다음 조건을 만족하는 정수 \(n\) 중 가장 큰 것을 구하여라. \(n\)은 정수의 세제곱이 아니며, \(n^2\)은 \(([\sqrt[3]{n}])^5\)의 배수이다. (단, \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)

내심이 \(I\)인 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 변 \(BC, CA, AB\)와 각각 점 \(D, E, F\)에서 접할 때, 직선 \(EF\)와 \(BC\)가 점 \(J\)에서 만나고 \(overline{BJ}=100\), \(overline{CJ}=60\)이다. 삼각형 \(ABC\)의 한 방접원이 변 \(BC\)와 점 \(K\)에서 접하고, 직선 \(IK\)가 변 \(CA\)를 5:3으로 내분하는 점 \(L\)을 지난다. 삼각형 \(ABC\)의 내접원의 반지름을 \(r\)이라 할 때, \(r^2\)의 값을 구하여라.

한 변의 길이가 1인 정20각형 \(P_1P_2\cdots P_{20}\)의 꼭짓점 다섯 개로 이루어진 오각형 중 모든 변의 길이가 2보다 큰 것의 개수를 구하여라. (단, 두 오각형을 이루는 꼭짓점이 하나라도 다르면 다른 것으로 본다.)

정수 \((m + 164)(m^2 + 164^2)\)이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 양의 홀수 \(m\) 중 가장 작은 것을 구하여라.

모든 실수 \(x > 1\)에 대하여 부등식 \( x^{100} - ax^{51} + ax^{49} \ge 1 \) 이 항상 성립하게 하는 실수 \(a\) 중 가장 큰 것을 구하여라.

변의 길이가 모두 양의 정수이며 다음 조건을 모두 만족하는 육각형의 둘레의 길이의 최댓값을 구하여라. (i) 내각의 크기가 모두 같다. (ii) 두 변이 평행하면 그 길이가 같다. (iii) 이웃한 두 변의 길이는 다르다. (iv) 넓이는 \(12\sqrt{3}\) 이하이다.

\(f(m) = 6^m\)일 때, 분수식 \( \\displaystyle\sum_{n=1}^{20} \dfrac{x^{f(n)} (1 - x^{f(20n)})}{1 - x^{f(n)}} \quad \quad (x \neq \pm 1) \) 을 간단히 하면 정수 계수 다항식을 얻는다. 이 다항식에서 \(x^{1\times 2\times 3\times\cdotstimes 20}\)의 계수를 구하여라.

모든 \(m, n, k \ge 0\)에 대하여 \( 0 < a_{m+n+k} \le 3 \\max{a_m, a_n, a_k} \) 를 만족하는 임의의 수열 \(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)에 대하여 \( \dfrac{a_{i_1+\cdots+i_{201}}}{\\max{a_{i_1},\ldots,a_{i_{201}}}} \) 이 가질 수 있는 값 중 가장 큰 것을 구하여라. (단, \(\\max{x_1, \ldots, x_\ell}\)은 \(x_1, \ldots, x_\ell\) 중 가장 큰 수이다.)

양의 정수 \(m\), \(n\) \((m < n)\)에 대하여 \(m\) 이상 \(n\) 이하인 정수의 집합을 \([m, n]\)이라 하자. 8 이하인 양의 정수 \(a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3\)을 고를 때, \(a_1 < a_2 < a_3\)을 만족하고, \([a_1, b_1], [a_2, b_2], [a_3, b_3]\) 중 어느 것도 다른 것의 부분집합이 아닌 경우의 수를 구하여라. (단, \(a_1 < b_1\), \(a_2 < b_2\), \(a_3 < b_3\))

모든 \(-1 \le x \le 1\)에 대하여 \(0 \le f(x) \le 1\)인 6차 다항식 \(f(x)\)에서 \(x^6\)의 계수가 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.

각 \(A\)가 예각인 삼각형 \(ABC\)에 대하여 각 \(B\)의 이등분선이 변 \(AC\)와 만나는 점을 \(D\), 각 \(C\)의 이등분선이 변 \(AB\)와 만나는 점을 \(E\)라 하자. 선분 \(DE\)의 중점 \(F\)에서 직선 \(AB\)와 \(BC\)에 내린 수선의 발을 각각 \(J\)와 \(K\)라 하면, \(AD = 30\), \(FJ = 12\), \(FK = 20\)이다. \(DE = x\)일 때, \(x^2\)의 값을 구하여라.

수열 \({a_n}\)을 다음과 같이 정의한다. \( a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \dfrac{1}{2[a_n] - a_n + 1} \quad (n \ge 1) \) \(a_{2014} = \dfrac{q}{p}\) (\(p\), \(q\)는 서로소인 양의 정수)일 때, \(p + q\)의 값을 구하여라. (단, \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)

두 종류의 타일 과 을 겹치지 않게 배치하여 아래 모양을 만드는 방법의 수를 구하여라. 예를 들어, 모양은 세 가지 방법으로 만들 수 있다.