KMO 중등부 1차 2017

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(m\) 중 가장 작은 것을 구하여라. 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(m^2 \geq \dfrac{14m}{n} + \dfrac{7}{n^2}\) 이다.

8명의 학생을 2개의 모둠으로 나눌 때, 각 모둠의 인원이 2명 이상인 경우의 수를 구하여라.

원에 내접하는 칠각형 \(ABCDEFG\) 의 변 \(CD\) 와 변 \(AG\) 가 평행하고, 변 \(EF\) 와 변 \(AB\) 가 평행하다. \(\\angle AFB = 50^\circ\), \(\\angle AEG = 15^\circ\), \(\\angle CBD = 30^\circ\), \(\\angle EDF = 13^\circ\), \(\\angle DGE = x^\circ\)일 때, \(x\)의 값을 구하여라. (단, \(0 < x < 180\))

다음 세 조건을 모두 만족하는 세 자리 양의 정수를 큰 것부터 차례로 나열하였을 때, 여섯 번째 수를 구하여라. (i) 어떤 자리의 수도 0이 아니다. (ii) 12의 배수이다. (iii) 십의 자리의 수와 백의 자리의 수를 서로 바꾸어도 12의 배수이다.

음 아닌 정수 \(a_1, \ldots, a_{10}\) 이 다음을 만족한다. \( a_1+2(a_1+a_2)+3(a_1+a_2+a_3)+\cdots+10(a_1+\cdots+a_{10})=63 \) 이때 \(a_1+2a_2+3a_3+\cdots+10a_{10}\)의 값을 구하여라.

서로 수직 혹은 평행인 선분으로 구성된 다음 도형에 있는 직사각형의 개수를 구하여라.

예각삼각형 \(ABC\) 의 수심 \(H\) 에서 변 \(BC\) 에 내린 수선의 발을 \(D\) 라 하고 선분 \(DH\) 를 지름으로 하는 원과 직선 \(BH\), \(CH\) 의 교점을 각각 \(P(\neq H)\), \(Q(\neq H)\) 라 하자. 직선 \(DH\) 와 \(PQ\) 의 교점을 \(E\) 라 하면, \(HE : ED = 2 : 3\)이고 삼각형 \(EHQ\)의 넓이가 200이다. 직선 \(PQ\)와 변 \(AB\) 의 교점을 \(R\)이라 할 때, 삼각형 \(DQR\)의 넓이를 구하여라.

다음 연립방정식을 만족하는 실수해 \(x\), \(y\), \(z\) 의 합을 구하여라. \( x^2 + y - 2z + 12 = 0 \), \( y^2 - 2z - 2x + 3 = 0 \), \( z^2 - 2x + 9y + 4 = 0 \)

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + 24x - n^2 = 0\)이 정수해를 갖도록 하는 양의 정수 \(n\)을 모두 더한 값을 구하여라.

다음 세 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 \((a,b,c,d)\)의 개수를 구하여라. \( a \ge b \ge c, \quad b \ge d, \quad a + 2b + 2c + d = 19 \)

등변사다리꼴 \(ABCD\)의 마주보는 변 \(AD\)와 \(BC\)가 평행하고 \(overline{AD}=6\), \(overline{BC}=12\), \(overline{AB}=5\)이다. 삼각형 \(ABD\)의 내접원과 삼각형 \(BCD\)의 내접원이 대각선 \(BD\)와 접하는 점을 각각 \(E\), \(F\)라 하자. 삼각형 \(AEF\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(97S^2\)을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라.

다음 조건을 만족하는 소수 \(p\)를 모두 더한 값을 구하여라. \(41\pm - 42p^2 = m^3\)을 만족하는 양의 정수 \(m\)이 존재한다.

두 이차식 \( (2x-3)(3x-7) = a, \quad (2x-5)(3x-10) = \dfrac{1050}{a} \) 을 모두 만족하는 실수 \(x\)가 존재하도록 하는 0이 아닌 실수 \(a\)를 모두 더한 것을 구하여라.

14 이하의 양의 정수 중 서로 다른 3개를 뽑을 때, 뽑힌 어느 두 수도 서로소인 경우의 수를 구하여라. (단, 뽑는 순서는 고려하지 않는다.)

10보다 작은 서로 다른 음 아닌 정수 \(a, b, c, d\)가 다음 계산식을 만족한다. 이러한 순서쌍 \((a, b, c, d)\)의 개수를 구하여라. (예를 들어, 5 1 9은 519을 의미한다.)

정십이각형 \(A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9 A_{10} A_{11} A_{12}\)의 꼭짓점 \(A_1\), \(A_2\)를 지나는 직선과 꼭짓점 \(A_5\), \(A_{11}\)을 지나는 직선의 교점을 \(X\)라 하자. \(overline{XA_2} \cdot overline{A_1 A_2} = 10\)일 때, 이 정십이각형의 넓이를 구하여라.

다음 두 식을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 \((a,b,c,d,e)\)의 개수를 구하여라. \( a+b+c=de, \quad abc=d+e \)

60개의 칸이 있는 다음 그림에서 가장 바깥쪽 칸에 반시계방향으로 1부터 20까지 수가 적혀 있다. 가장 안쪽 원을 이루는 20개 칸에 1부터 20까지 수를 시계방향으로 차례대로 적고, 가운데 칸 \(d_1, d_2, \ldots, d_{20}\)에는 이웃한 바깥쪽 칸과 안쪽 칸에 있는 두 수의 차를 적는다. 이때 다음 조건을 만족하도록 그림의 칸 \(x\)에 적을 수 있는 수의 합을 구하여라. 칸 \(d_i\)와 칸 \(d_{i+10}\)에 적힌 수는 같다 \((i = 1, 2, \ldots, 10)\).

각 \(C\)가 직각이고 \(overline{AB} > 400\)인 직각삼각형 \(ABC\)의 외접원을 \(O_1\)이라 하자. 반지름이 100인 원 \(O_2\)가 원 \(O_1\)에 점 \(A\)에서 내접한다. 변 \(AC\)와 \(O_2\)가 만나는 점을 \(D(\neq A)\)라 하고, 점 \(D\)와 원 \(O_1\)의 중심을 지나는 직선이 직선 \(BC\)와 만나는 점을 \(E\)라 하자. \(overline{BC}:overline{BE}=5:4\)일 때, 변 \(AB\)의 길이를 구하여라.

다음 세 수의 최대공약수를 구하여라. \( 5^{2000} - 24 \times 999 - 25, \), \( 5^{2002} - 24 \times 1000 - 25, \), \( 5^{2004} - 24 \times 1001 - 25 \)