KMO 중등부 2차 2013 (제27회)

다음 세 수의 크기를 비교하여라. \( \sqrt[3]{\dfrac{25}{3}}, \quad \sqrt[3]{\dfrac{1148}{135}}, \quad \sqrt[3]{\dfrac{25}{3}} + \sqrt[3]{\dfrac{6}{5}} \)

원 \(O\)에 내접하는 오각형 \(ABCDE\)가 다음 조건을 모두 만족한다. (i) \(\\angle CAD > \\angle CDE\) (ii) \(AB = BC\), \(AE = DE\) (iii) 점 \(E\)에서 직선 \(DE\)에 접하고 점 \(A\)를 지나는 원이 선분 \(EC\)와 점 \(F\)에서 만나고 직선 \(BF\)와는 점 \(G\) (\(\neq F\))에서 만난다. 직선 \(DG\)와 원 \(O\)의 교점을 \(H\) (\(\neq D\))라 할 때, 점 \(E\)에서의 원 \(O\)의 접선이 직선 \(HA\)와 직교함을 보여라.

양의 정수로 이루어진 수열 \(a_1, a_2, a_3, \ldots\)이 식 \(a_{i+2} = a_{i+1} + a_i\) (\(i \geq 1\))을 항상 만족할 때, 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 다음의 값이 양의 정수임을 보여라. \( \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{4n-2}}{a_{2n+1}} \)

다음 조건을 만족하는 소수 \(p\)가 존재함을 보여라. \(2^n - 1\)이 \(p\)의 배수가 되는 양의 정수 \(n\) 중 가장 작은 것은 \(3^{2013}\)이다.

세 변의 길이가 모두 다른 예각삼각형 \(ABC\)의 변 \(AB\)의 중점을 \(D\)라 하고, 점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(E\), 점 \(B\)에서 변 \(CA\)에 내린 수선의 발을 \(F\)라 하자. 삼각형 \(DEF\)의 외심을 \(O\)라 할 때, 선분 \(BE\) 위의 점 \(J\)가 \(\\angle ODC = \\angle EAJ\)를 만족한다. 두 선분 \(AJ\)와 \(DC\)의 교점이 삼각형 \(BDE\)의 외접원 위에 있음을 보여라.

다음 조건을 만족하는 함수 \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)을 모두 구하여라. 임의의 양의 정수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(f(mn) = \operatorname{lcm}(m, n) \cdot \\gcd(f(m), f(n))\)이다. (단, \(\mathbb{N}\)은 양의 정수 전체의 집합이고 \(\operatorname{lcm}(m, n)\)과 \(\\gcd(m, n)\)은 각각 \(m\), \(n\)의 최소공배수와 최대공약수이다.)

함수 \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)이 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 다음 두 조건 (1) \(f(n+1) > f(n)\), (2) \(f(f(n)) = 2n + 2\) 를 만족할 때, \(f(2013)\)을 구하여라. (단, \(\mathbb{N}\)은 양의 정수 전체의 집합이다.)

정\(2013\)각형의 모든 대각선들을 그었을 때, 정\(2013\)각형의 내부는 여러 가지 다각형 모양의 영역들로 나뉘어진다. 이 영역들 중 \(2013\)각형은 오직 하나 존재함을 보여라.