KMO 고등부 2차 2018 (제32회)

예각삼각형 \(ABC\)의 내심 \(I\)에서 변 \(AC\)에 내린 수선의 발을 \(E\)라 하자. 점 \(A\)를 지나고 직선 \(BI\)에 수직인 직선과 직선 \(CI\)의 교점을 \(K\)라 하고, 점 \(A\)를 지나고 직선 \(CI\)에 수직인 직선과 점 \(C\)를 지나고 직선 \(BI\)에 수직인 직선의 교점을 \(L\)이라 하자. 세 점 \(E\), \(K\), \(L\)이 한 직선 위에 있음을 보여라.

양의 정수 \(n\)에 대하여, \(x+y+2z+3w=n-1\)을 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 \((x,y,z,w)\)의 개수를 \(p(n)\)이라고 하고, 다음 세 조건을 모두 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 \((a,b,c,d)\)의 개수를 \(q(n)\)이라 하자. (i) \(a+b+c+d=n\) (ii) \(a \geq b\)이고 \(c \geq d\)이며 \(a \geq d\)이다. (iii) \(b < c\) 모든 \(n\)에 대하여 \(p(n)=q(n)\)임을 보여라.

다항식 \(f(x)=x^4+2x^3-2x^2-4x+4\)에 대하여 다음을 만족하는 소수 \(p\)가 무한히 많음을 보여라. 어떠한 양의 정수 \(m\)에 대해서도 \(f(m)\)은 \(p\)의 배수가 아니다.

실수의 수열 \({a_n}\)이 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족한다고 하자. (i) \(0 < a_n < n^{\\alpha}\) (ii) \(a_1+a_2+\cdots+a_n < \sqrt{n}\) 이때 \(n>N\)인 모든 \(n\)에 대하여 \(a_1^{2018}+a_2^{2018}+\cdots+a_n^{2018} < n^{2018}\)이 성립하는 양의 정수 \(N\)이 반드시 존재하게 되는 양수 \(\\alpha\)를 모두 구하여라.

볼록사각형 \(ABCD\)에서 각 \(A\)의 이등분선이 각 \(B\)의 이등분선, 각 \(D\)의 이등분선과 만나는 점을 각각 \(P\), \(Q\)라 하고, 각 \(C\)의 이등분선이 각 \(D\)의 이등분선, 각 \(B\)의 이등분선과 만나는 점을 각각 \(R\), \(S\)라 하자. 이때 네 점 \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\)는 모두 다른 점이고, 두 선분 \(PR\)과 \(QS\)가 점 \(Z\)에서 수직으로 만난다. 각 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)의 외각의 이등분선을 각각 \(\ell_A\), \(\ell_B\), \(\ell_C\), \(\ell_D\)라 하고, \(\ell_A\)와 \(\ell_B\)의 교점을 \(E\), \(\ell_B\)와 \(\ell_C\)의 교점을 \(F\), \(\ell_C\)와 \(\ell_D\)의 교점을 \(G\), \(\ell_D\)와 \(\ell_A\)의 교점을 \(H\)라 하자. 사각형 \(EFGH\)의 네 변 \(FG\), \(GH\), \(HE\), \(EF\)의 중점을 각각 \(K\), \(L\), \(M\), \(N\)이라 할 때, 사각형 \(KLMN\)의 넓이는 \(overline{ZM} \cdot overline{ZK} + overline{ZL} \cdot overline{ZN}\)임을 보여라.

서로 다른 \(n\)개의 양의 정수로 이루어진 집합 \(S\)에 대하여, 다음 조건을 만족하는 일대일대응 \(f:{1,2,\ldots,n} \to S\)가 항상 존재함을 보여라. (단, \(n\)은 \(3\) 이상인 정수이다.) 모든 \(1 \leq i < j < k \leq n\)에 대하여, \((f(j))^2 \neq f(i) \cdot f(k)\)이다.

아래 그림과 같이 \(9\)개의 작은 원판 \(A, B, \ldots, I\)와 \(11\)개의 선분으로 이루어진 도형이 있다. 모든 원판에 실수를 하나씩 쓰고, 각 선분에는 선분의 양 끝 원판에 적힌 두 실수의 차의 제곱을 적는다. 원판 \(A\)에는 \(0\), 원판 \(I\)에는 \(1\)을 쓰자. 이때 모든 선분에 적힌 수의 합이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.

양의 정수 \(a\), \(c\)에 대하여 \(b\)는 \(ac-1\)의 양의 약수이다. \(1\)보다 작은 양의 유리수 \(r\)에 대하여, 집합 \(A(r)\)을 다음과 같이 정의하자. \( A(r) = \{ m\left(r - \dfrac{a}{c}\right) + n\dfrac{a}{b} \mid m, n \text{은 정수} \} \) 이때 \(A(r)\)의 원소 중 가장 작은 양의 유리수가 \(\dfrac{ab}{a+b}\) 이상이 되는 \(r\)을 모두 구하여라.