KMO 고등부 2차 2013 (제27회)

삼각형 \(ABC\)에서 변 \(BC\) 위의 점 \(P\)를 지나고 \(AB\), \(AC\)와 평행한 직선이 \(AC\), \(AB\)와 만나는 점을 각각 \(Q\), \(R\)이라 하고, 삼각형 \(ABC\), \(BPR\), \(PCQ\)의 외심을 각각 \(O\), \(O_1\), \(O_2\)라 하자. 삼각형 \(BPR\)의 외접원과 삼각형 \(PCQ\)의 외접원이 만나는 점을 \(K\) (\(\neq P\))라 할 때, 네 점 \(O\), \(O_1\), \(O_2\), \(K\)는 한 원 위에 있음을 보여라.

식 \(ab+bc+ca=3\)을 만족하는 양의 실수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \dfrac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}+\dfrac{(b+c)^3}{\sqrt[3]{2(b+c)(b^2+c^2)}}+\dfrac{(c+a)^3}{\sqrt[3]{2(c+a)(c^2+a^2)}}\geq 12. \)

최고차항의 계수가 \(1\)인 정수계수 \(6\)차 다항식 중 다음 조건을 모두 만족하는 다항식 \(f(x)\)가 존재함을 보여라. (1) 모든 정수 \(m\)에 대하여 \(f(m)\neq 0\)이다. (2) 홀수인 양의 정수 \(n\)이 주어졌을 때, \(f(k)\)가 \(n\)의 배수가 되는 양의 정수 \(k\)가 존재한다.

양의 정수로 이루어진 수열 \({a_i}\)가 점화식 \(a_{i+2}=a_{i+1}+a_i\) (\(i\geq 1\))을 만족할 때, 양의 정수 \(n\)에 대하여 \( b_n=\dfrac{1}{a_{2n+1}}\\displaystyle\sum_{i=1}^{4n-2}a_i \) 라 하자. 수열 \({b_n}\)의 모든 항이 양의 정수임을 보이고, 이 수열의 일반항을 구하여라.

다음 조건을 만족하는 함수 \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\)을 모두 구하여라. 임의의 양의 정수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(f(mn)=\operatorname{lcm}(m,n)\cdot\\gcd(f(m),f(n))\)이다. (단, \(\mathbb{N}\)은 양의 정수 전체의 집합이고 \(\operatorname{lcm}(m,n)\)과 \(\\gcd(m,n)\)은 각각 \(m\), \(n\)의 최소공배수와 최대공약수이다.)

외심이 \(O\)인 삼각형 \(ABC\)의 변 \(BC\) 위의 점 \(P\)에 대하여, \(P\)를 지나고 \(B\)에서 \(AB\)에 접하는 원과 \(P\)를 지나고 \(C\)에서 \(AC\)에 접하는 원이 점 \(Q\) (\(\neq P\))에서 만난다. \(Q\)에서 직선 \(AB\)와 \(AC\)에 내린 수선의 발을 각각 \(D\)와 \(E\)라고 할 때, \(DE\)와 \(BC\)의 교점을 \(R\)이라 하자. 세 점 \(O\), \(P\), \(Q\)가 한 직선 위에 있으면 세 점 \(A\), \(R\), \(Q\)도 한 직선 위에 있음을 보여라.

양의 정수 \(k\)에 대하여, 정수로 이루어진 수열 \({b_n}\)과 \({c_n}\)이 다음과 같이 주어진다. \( b_1=1,\quad b_{2n}=kb_{2n-1}+(k-1)c_{2n-1},\quad b_{2n+1}=b_{2n}+(k-1)c_{2n}, \), \( c_1=1,\quad c_{2n}=b_{2n-1}+c_{2n-1},\quad c_{2n+1}=b_{2n}+kc_{2n}\quad (n\geq 1) \) 양의 정수 \(k\)에 대하여 얻어진 \(b_{2014}\)를 \(a_k\)라 할 때 \( \\displaystyle\sum_{k=1}^{100}(a_k-\sqrt{a_k^2-1})^{\dfrac{1}{2014}} \) 를 구하시오.

양의 정수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여, 평면 위에 \(a+b+c+d\)개의 점으로 이루어진 집합 \(X\)가 있다. \(X\)의 어떠한 세 점도 한 직선 위에 있지 않다면 다음 조건을 모두 만족하는 평행하지 않은 두 직선 \(\ell_1\), \(\ell_2\)가 존재함을 증명하여라. (i) \(X\cap(\ell_1\cup\ell_2)=\emptyset\) (ii) 두 직선 \(\ell_1\)과 \(\ell_2\)로 평면을 나누었을 때 만들어지는 네 영역이 \(X\)의 원소를 각각 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)개 포함한다.