KMO 중등부 2차 2012 (제26회)

양의 실수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(ab+bc+ca=1\)을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \dfrac{a+b}{\sqrt{ab(1-ab)}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{bc(1-bc)}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{ca(1-ca)}} \le \dfrac{\sqrt{2}}{abc}. \) (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

원 \(O\)에 내접하는 오각형 \(ABCDE\)가 \(\\angle A = 90^\circ\), \(overline{AB}=overline{CD}\)를 만족한다. 변 \(AE\) 위의 점 \(F\) (\(\neq A, E\))에 대하여 직선 \(BF\)가 원 \(O\)와 만나는 점을 \(J\) (\(\neq B\)), 직선 \(CE\)와 직선 \(DJ\)가 만나는 점을 \(K\), 직선 \(BD\)와 직선 \(FK\)가 만나는 점을 \(L\)이라 하자. 네 점 \(B\), \(L\), \(E\), \(F\)가 한 원 위에 있음을 보여라. (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

등식 \(5^\ell(43^m)+1=n^3\)을 만족하는 양의 정수 \(\ell\), \(m\), \(n\)을 모두 구하여라. (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

어떤 모임에서 학생 \(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\), \(A_n\)이 서로 악수를 하였다. 학생 \(A_i\)가 악수한 횟수를 \(d_i\) (\(1 \le i \le n\))이라 할 때, \(d_1+d_2+\cdots+d_n>0\)이다. 다음 조건을 모두 만족하는 \(i\), \(j\) \((1 \le i < j \le n)\)이 존재함을 보여라. (1) 학생 \(A_i\)와 학생 \(A_j\)는 악수를 하였다. (2) \(\dfrac{(d_1+d_2+\cdots+d_n)^2}{n^2} \le d_i d_j\) (두 학생이 악수를 여러 번 할 수도 있다.) (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

원 \(O\)에 내접하는 사각형 \(ABCD\) \((overline{AB}>overline{AD})\)의 변 \(AB\) 위에 \(overline{AE}=overline{AD}\)가 되도록 점 \(E\)를 택하고, 직선 \(AC\)와 \(DE\)의 교점을 \(F\), 직선 \(DE\)와 원 \(O\)의 교점을 \(K\) (\(\neq D\))라 하자. 점 \(C\), \(F\), \(E\)를 지나는 원의 점 \(E\)에서의 접선과 직선 \(AK\)가 점 \(L\)에서 만난다고 할 때, \(overline{AL}=overline{AD}\)일 필요충분조건이 \(\\angle KCE = \\angle ALE\)임을 보여라. (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

\(3\)보다 큰 소수 \(p\)가 다음 조건을 만족한다. \(2^x-1\)이 \(p\)의 배수가 되는 양의 정수 \(x\) 중 가장 작은 것이 \(p-1\)이다. \(p=2k+3\)이라 할 때, 수열 \({a_n}\)을 식 \( a_i = a_{k+i} = 2^i \ (1 \le i \le k), \quad a_{j+2k} = a_i a_{j+k} \ (j \ge 1) \) 에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 \({a_n}\)에는 \(p\)로 나눈 나머지가 모두 다른 \(2k\)개의 연속한 항이 존재함을 보여라. (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

모든 \(x_k\) \((k=1,2,3,4,5)\)가 양수이고, \(\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}=\{1,2,3,4,5\}\)일 때, \( \dfrac{(\sqrt{s_1 x_1}+\sqrt{s_2 x_2}+\sqrt{s_3 x_3}+\sqrt{s_4 x_4}+\sqrt{s_5 x_5})^2}{a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + a_4 x_4 + a_5 x_5} \) 의 최댓값을 구하여라. (단 \(s_k = a_1+a_2+\cdots+a_k\)) (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

\(1\)번부터 \(n\)번까지 \(n\)명의 학생이 있다. \(1\)에서 \(n\)까지의 정수가 각각 하나씩 적혀있는 \(n\)장의 카드가 들어 있는 통에서 각자 카드를 한 장씩 뽑기로 한다. 두 사람이 서로 상대방의 번호가 적힌 카드를 뽑으면 그 두 사람을 짝이라고 하자. 짝이 하나도 생기지 않을 확률을 \(p_n\)이라고 할 때, 다음이 성립함을 보여라. \( p_n - p_{n-1} = \begin{cases} 0 & n \text{은 홀수} \\ \dfrac{1}{(-2)^k k!} & n=2k \end{cases} \) (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)