KMO 고등부 1차 2017

수열 \({a_n}\)이 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \((n+2)a_n a_{n+1} + n a_{n+1} a_{n+2} = 2(n+1) a_n a_{n+2}\) 를 만족한다. \(a_1 = 100\), \(a_3 = 228\)일 때, \(a_{28}\)의 값을 구하여라.

8명의 학생을 몇 개의 모둠으로 나눌 때, 각 모둠의 인원이 2명 이상 4명 이하인 경우의 수를 구하여라.

원 \(O\)에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 \(AB = AD\), \(\\angle BDC = 15^\circ\), \(\\angle CBD = 45^\circ\)이다. 직선 \(AB\)와 \(CD\)의 교점을 \(E\), 직선 \(AD\)와 \(BC\)의 교점을 \(F\)라 하자. \(BE \cdot DF = 675\)일 때, 원 \(O\)의 반지름의 길이를 구하여라.

다음 조건을 만족하는 세 자리 양의 정수 \(N\)을 큰 것부터 차례로 나열하였을 때, 두 번째 수를 구하여라. 10보다 작은 양의 정수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(N = 100a+10b+c\)일 때, 세 정수 \(N\), \(10a+b\), \(10b+c\)는 모두 소수이다.

다음 수들의 최대공약수를 구하여라. \(2^{17} - 2\), \(3^{17} - 3\), \(4^{17} - 4\), \(\ldots\), \(31^{17} - 31\)

양의 정수 \(n\)에 대하여 정의된 다항식 \(f_n(x)\)는 다음 성질을 만족한다. \(n\)의 모든 양의 약수를 \(d_1, \ldots, d_m\)이라 하면 \(f_{d_1}(x) \times \cdots \times f_{d_m}(x) = x^n - 1\) 이다. 서로 다른 양의 정수 \(a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_\ell\)에 대하여 \(\dfrac{f_3(x)f_4(x)f_6(x)f_{12}(x)f_{49}(x)}{f_2(x)f_5(x)f_{10}(x)f_{18}(x)} = \dfrac{(x^{a_1} - 1)\cdots(x^{a_k} - 1)}{(x^{b_1} - 1)\cdots(x^{b_\ell} - 1)}\) 가 성립할 때, \(a_1 + \cdots + a_k + b_1 + \cdots + b_\ell\)의 값을 구하여라.

다음 그림과 같은 \(1 \times 1\) 정사각형 모양의 타일 1개, \(1 \times 2\) 직사각형 모양의 타일 6개, \(1 \times 3\) 직사각형 모양의 타일 1개, 그리고 십자(\(+\)) 모양의 타일 1개가 있다. \(3 \times 7\) 직사각형 모양의 벽에 이 9개의 타일을 모두 빈틈없이 붙이는 경우의 수를 구하여라. (단, 타일을 \(90^\circ\) 회전하여 사용할 수 있다.)

삼각형 \(ABC\)의 꼭짓점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(D\)라 할 때, \(AB = 125\), \(AC = 150\), \(AD = 100\)이다. 점 \(D\)에서 삼각형 \(ABD\)의 외접원의 접선이 삼각형 \(ACD\)의 외접원과 만나는 점을 \(E(\neq D)\)라 하자. 선분 \(CD\) 위의 점 \(X\)에 대하여 삼각형 \(ADX\)의 외접원이 선분 \(DE\)와 점 \(Y(\neq D)\)에서 만난다고 하자. \(CX = 30\)일 때, 선분 \(EY\)의 길이를 구하여라.

다음 두 식을 모두 만족하는 세 실수 \(x\), \(y\), \(z\)에 대하여 \(x^2 + y^2 + z^2\)이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라. (i) \(x + y + z = 2\) (ii) \(2xy + yz + zx = -7\)

빨간 공 9개와 파란 공 9개에 9 이하의 양의 정수가 하나씩 적혀 있으며 같은 색의 공에 적힌 수는 서로 다르다. 다음 세 조건을 모두 만족하도록 빨간 공 2개, 파란 공 2개를 동시에 뽑는 경우의 수를 구하여라. (i) 뽑힌 공에 적힌 수는 서로 다르다. (ii) 뽑힌 빨간 공 2개에 적힌 수의 차가 2 이상이다. (iii) 뽑힌 파란 공 2개에 적힌 수의 차가 2 이상이다.

예각삼각형 \(ABC\)의 외접원의 반지름이 5이고 변 \(AB\)의 길이는 8이다. 삼각형 \(ABC\)의 내심 \(I\)에서 변 \(AC\)에 내린 수선의 발을 \(D\), 점 \(A\)에서 직선 \(BI\)에 내린 수선의 발을 \(E\), 삼각형 \(ACI\)의 외심에서 변 \(AC\)에 내린 수선의 발을 \(F\)라 하자. \(overline{DE} = 1\)이고, \(overline{EF} = a\)일 때, \(100a^2\)의 값을 구하여라.

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\) 중 가장 작은 것을 구하여라. \(111 \times 10^k < n^2 < 112 \times 10^k\)을 만족하는 양의 정수 \(k\)가 존재한다.

함수 \(f : \{1, 2, \ldots, 12\} \to \{1, 2, 3, 4, 5\}\)가 다음 두 조건을 모두 만족한다. (i) \(\{f(1), f(2), \ldots, f(12)\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) (ii) 모든 \(i = 1, 2, \ldots, 12\)에 대하여 \(f(f(f(i))) = f(f(i))\) 다음 식이 가질 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라. \(60 \\displaystyle\sum_{i=1}^{12} \dfrac{f(f(i))}{f(i)}\)

볼록사각형 \(ABCD\)가 중심이 \(O\)인 원에 외접한다. 점 \(C\)에서 직선 \(BO\)에 내린 수선의 발을 \(E\), 점 \(D\)에서 직선 \(AO\)에 내린 수선의 발을 \(F\)라 하자. \(\\angle A = 110^\circ\), \(\\angle B = 130^\circ\), \(\\angle EFO = 31^\circ\), \(\\angle C = x^\circ\)일 때, \(x\)의 값을 구하여라. (단, \(0 < x < 180\))

다음 그림과 같이 10등분된 회전판이 있다. 각 칸에 빨강색 또는 파랑색을 칠하여 만들 수 있는 모든 회전판의 개수를 구하여라. 단, 회전하여 같은 것은 한 가지로 센다.

식 \(n^4 - 17n^3 + 98n^2 - 229n + 187\)의 값이 소수가 되도록 하는 모든 양의 정수 \(n\)의 합을 구하여라.

수열 \({x_n}\)이 모든 양의 정수 \(n\)에 대하여 \((4 + x_1 + \cdots + x_n)(x_1 + \cdots + x_{n+1}) = 1\) 을 만족하고, \(x_1 = 1\)이다. \([\dfrac{x_{100}}{x_{101}}]^2\)의 값을 구하여라. (단, \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 가장 큰 정수)

집합 \(\{1, 2, 3, 4\}\)의 서로 다른 부분집합 4개로 이루어진 집합 \(S\)가 다음 조건을 만족한다. \(\{A, B\} \subset S\)이면 \(\{A \cup B, A \cap B\} \subset S\) 이러한 \(S\)의 개수를 구하여라.

삼각형 \(ABC\)에서 \(\\angle A = 45^\circ\), \(\\angle B = 60^\circ\), \(BC = 12\)이다. 삼각형 \(ABC\)의 외심을 \(O\)라 하고 삼각형 \(OAB\), \(OBC\), \(OCA\)의 외심을 각각 \(O_1\), \(O_2\), \(O_3\)라 하자. 삼각형 \(O_1 O_2 O_3\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, \((S - 54)^2\)의 값을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라.

다음 조건을 만족하는 소수 \(p\), \(q\)의 순서쌍 \((p, q)\)의 개수를 구하여라. \(p^2 + q^2 + 42\)의 양의 약수는 9개이다.