KMO 고등부 2차 2009 (제23회)

삼각형 \(ABC\)의 내심을 \(I\), 외심을 \(O\)라 하자. 세 삼각형 \(BIC\), \(CIA\), \(AIC\)의 외심을 각각 \(D\), \(E\), \(F\)라 하고, 세 선분 \(DI\), \(EI\), \(FI\)의 중점을 각각 \(P\), \(Q\), \(R\)라 할 때, 삼각형 \(PQR\)의 외심 \(M\)은 선분 \(IO\)의 중점임을 보여라.

임의의 양의 실수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \dfrac{a^3}{c(a^2+bc)} + \dfrac{b^3}{a(b^2+ca)} + \dfrac{c^3}{b(c^2+ab)} \geq \dfrac{3}{2}. \)

양의 정수 \(n\)에 대해서 방정식 \( z^n = 8x^{2009} + 23y^{2009} \) 의 정수해가 \(x=y=z=0\) 밖에 없을 때, 이러한 \(n\)의 최솟값을 구하여라.

학생 \(n\) (\(n \geq 3\))명이 있다. 이들 중 두 명이 서로 아는 경우가 모두 \(s\)가지(\(s \geq 1\)), 세 명이 서로 다 아는 경우가 모두 \(t\)가지(\(t \geq 1\))라 하자. 두 학생 \(x\), \(y\)에 대하여, 나머지 학생들 중 이 두 학생을 모두 아는 학생의 수를 \(d(x,y)\)라 할 때, 다음 부등식을 만족하는 서로 아는 세 명의 학생 \(u\), \(v\), \(w\)가 있음을 보여라. \( d(u,v) + d(v,w) + d(w,u) \geq \dfrac{9t}{s}. \) 단, 학생 \(A\)가 \(B\)를 알면 \(B\)도 \(A\)를 안다고 가정하자.

집합 \(A=\{1, 2, \ldots, 12\}\)에 대하여 다음 조건을 만족하는 일대일대응함수 \(f: A \to A\)의 개수를 구하여라. 조건: 모든 \(i \in A\)에 대하여 \(f(i)-i\)는 \(3\)의 정수배가 아니다.

삼각형 \(ABC\)의 변 \(BC\) 위의 점 \(P\)와 변 \(CA\) 위의 점 \(Q\)에 대하여, 세 삼각형 \(ABP\), \(APQ\), \(CPQ\)의 내심을 각각 \(I\), \(J\), \(K\)라 할 때, 사각형 \(PIJK\)는 항상 볼록사각형임을 보여라. 단, \(P\), \(Q\)는 삼각형 \(ABC\)의 꼭짓점이 아니다.

\(n\)이 \(2\) 이상의 양의 정수일 때, \(2^n - 1\)이 \(3^n - 1\)의 약수가 될 수 없음을 보여라.

양의 정수 \(n\)에 대하여, 구간 \([0, n+1]\)에서 함수 \( f_n(x) = (\\displaystyle\sum_{i=1}^{n} |x-i|)^2 - \\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x-i)^2 \) 의 최솟값을 \(a_n\)이라 할 때, \(\\displaystyle\sum_{n=1}^{11} (-1)^{n+1} a_n\)의 값을 구하여라.