2021년 4월 고3 학력평가

\((\sqrt{3^\sqrt{2}})^\sqrt{2}\) 의 값은?

공차가 \(2\)인 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_5 - a_2\)의 값은?

닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-2} + 1\)의 최댓값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2^+} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 2x + 4\)이고 \(f(-1) + f(1) = 0\)일 때, \(f(2)\)의 값은?

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \sin\left(ax + \dfrac{\pi}{6}\right)\)의 주기가 \(4\pi\)일 때, \(f(\pi)\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에서 \(x\)의 값이 \(1\)에서 \(4\)까지 변할 때의 평균변화율과 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((k, f(k))\)에서의 접선의 기울기가 서로 같을 때, 양수 \(k\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 3x + a}{x - 2} & \quad \quad (x < 2) \\ -x^2 + b & \quad \quad (x \geq 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

두 함수 \(f(x), g(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} {2f(x) - 3g(x)} = 1\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} g(x) = \infty\)를 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{4f(x) + g(x)}{3f(x) - g(x)}\)의 값은?

수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 4t - 10\)이다. 점 \(P\)의 시각 \(t = 1\)에서의 위치와 점 \(P\)의 시각 \(t = k (k > 1)\)에서의 위치가 서로 같을 때, 상수 \(k\)의 값은?

\(0 \leq x \leq 2\pi\)일 때, 방정식 \(\cos x = \sin x\)의 모든 해의 합은?

닫힌구간에서 함수의 최댓값이 주어진 값일 때, 상수의 값은?

두 양수 \(a, b (a < b)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = (x - a)(x - b)\)라 하자. \(\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) d x = \dfrac{11}{6}\), \(\displaystyle\int_{0}^{b} f(x) d x = -\dfrac{8}{3}\)일 때, 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

\(4\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 \(n\) 이하의 네 자연수 \(a, b, c, d\)가 있다. (가) \(a > b\) (나) 좌표평면 위의 두 점 \(A(a, b), B(c, d)\)와 원점 \(O\)에 대하여 삼각형 \(OAB\)는 \(\angle A = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각이등변삼각형이다. 다음은 \(a, b, c, d\)의 모든 순서쌍 \((a, b, c, d)\)의 개수를 \(T_n\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=4}^{20} T_n\)의 값을 구하는 과정이다. 점 \(A(a, b)\)에 대하여 점 \(B(c, d)\)가 \(\overline{O A} \perp \overline{A B}\), \(\overline{O A} = \overline{A B}\)를 만족시키려면 \(c = a - b, d = a + b\)이어야 한다. 이때, \(a > b\)이고 \(d\)가 \(n\) 이하의 자연수이므로 \(b < \dfrac{n}{2}\)이다. \(\dfrac{n}{2}\) 미만의 자연수 \(k\)에 대하여 \(b = k\)일 때, \(a + b \leq n\)을 만족시키는 자연수 \(a\)의 개수는 \(n - 2k\)이다. \(2\) 이상의 자연수 \(m\)에 대하여 (i) \(n = 2m\)인 경우 \(b\)가 될 수 있는 자연수는 \(1\)부터 \((가)\)까지이므로 \(T_{2m} = \displaystyle\sum_{k=1}^{(가}) (2m - 2k) = (나)\) (ii) \(n = 2m + 1\)인 경우 \(T_{2m+1} = (다)\) (i), (ii)에 의해 \(\displaystyle\sum_{n=4}^{20} T_n = 614\) 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(m), g(m), h(m)\)이라 할 때, \(f(5) + g(6) + h(7)\)의 값은?

그림과 같이 \(1\)보다 큰 실수 \(k\)에 대하여 두 곡선 \(y = \log_2 |k x|\)와 \(y = \log_2 (x + 4)\)가 만나는 서로 다른 두 점을 \(A, B\)라 하고, 점 \(B\)를 지나는 곡선 \(y = \log_2 (-x + m)\)이 곡선 \(y = \log_2 |k x|\)와 만나는 점 중 \(B\)가 아닌 점을 \(C\)라 하자. 세 점 \(A, B, C\)의 \(x\)좌표를 각각 \(x_1, x_2, x_3\)이라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(x_1 < x_2\)이고, \(m\)은 실수이다.) <보기> ㄱ. \(x_2 = -2 x_1\)이면 \(k = 3\)이다. ㄴ. \(x_2^2 = x_1 x_3\) ㄷ. 직선 \(A B\)의 기울기와 직선 \(A C\)의 기울기의 합이 \(0\)일 때, \(m + k^2 = 19\)이다.

함수 \(f(x) = x^2 + a x\)에 대하여 \(f'(1) = 4\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin \theta \cos \theta = \dfrac{7}{18}\)일 때, \(30(\sin \theta + \cos \theta)\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = (x^2 - 2x) f(x)\)라 하자. 함수 \(f(x)\)가 \(x = 3\)에서 극솟값 \(2\)를 가질 때, \(g'(3)\)의 값을 구하시오.

첫째항이 \(\dfrac{1}{4}\)이고 공비가 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 + a_5 = \dfrac{1}{a_3} + \dfrac{1}{a_5}\)일 때, \(a_{10}\)의 값을 구하시오.

\(\overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C A} = 1 : 2 : \sqrt{2}\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 삼각형 \(A B C\)의 외접원의 넓이가 \(28 \pi\)일 때, 선분 \(C A\)의 길이를 구하시오.

첫째항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 2 & \quad \quad (a_n \geq 0) \\ a_n + 5 & \quad \quad (a_n < 0) \end{cases}\)을 만족시킨다. \(a_{15} < 0\)이 되도록 하는 \(a_1\)의 최솟값을 구하시오.

실수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(f(x), g(x)\)를 \(f(x) = 3x + a\), \(g(x) = \displaystyle\int_{2}^{x} (t + a) f(t) d t\)라 하자. 함수 \(h(x) = f(x) g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(h(-1)\)의 최솟값은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) (가) 곡선 \(y = h(x)\) 위의 어떤 점에서의 접선이 \(x\)축이다. (나) 곡선 \(y = |h(x)|\)가 \(x\)축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 \(4\)이다.