KMO 중등부 2차 2014 (제28회)

삼각형 \(ABC\)의 내심을 \(I\)라 하고, 직선 \(AI\)가 변 \(BC\)와 만나는 점을 \(D\)라 하자. 삼각형 \(ABD\)의 내심과 \(D\)를 지나는 직선이 선분 \(BI\)와 만나는 점을 \(E\), 삼각형 \(BCE\)의 외접원과 만나는 점을 \(P(\neq E)\)라 하자. 또, 삼각형 \(ACD\)의 내심과 \(D\)를 지나는 직선이 선분 \(CI\)와 만나는 점을 \(F\), 삼각형 \(BCF\)의 외접원과 만나는 점을 \(Q(\neq F)\)라 하자. 변 \(BC\)의 중점이 삼각형 \(DPQ\)의 외접원 위에 있음을 보여라.

주어진 짝수 개의 양의 실수 \(a_1, a_2, \cdots, a_{2n-1}, a_{2n}\)에 대하여 \( s = a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{2n-1} \), \( t = a_2 + a_4 + a_6 + \cdots + a_{2n} \), \( x_k = a_k + a_{k+1} + \cdots + a_{k+n-1} \quad (k=1, 2, \ldots, 2n) \) 이라 하자. 여기서 \(a_{2n+1} = a_1\), \(a_{2n+2} = a_2\), \(\ldots\), \(a_{3n-1} = a_{n-1}\)이다. 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \dfrac{s}{x_1} + \dfrac{t}{x_2} + \dfrac{s}{x_3} + \dfrac{t}{x_4} + \cdots + \dfrac{s}{x_{2n-1}} + \dfrac{t}{x_{2n}} > \dfrac{2n}{2n+1} \)

꼭짓점 \(10\)개로 이루어진 아래 그림에서 한 꼭지점으로부터 이웃한 꼭짓점으로 화살표 방향을 따라 움직이는 것을 한 번 이동한 것으로 보자. 꼭짓점 \(S\)에서 출발하여 총 \(n\)번 이동하는 방법의 수를 구하여라. 단, 지나갔던 꼭짓점이나 선분을 다시 지나가는 것도 허용한다.

세 양의 정수 \(p, q, r\)을 모두 나누는 양의 정수가 \(1\)밖에 없다면, \(p\)와 \(q + ar\)이 서로소가 되도록 하는 정수 \(a\)가 존재함을 보여라.

양의 정수 \(x, y\)에 대하여 \(x^2 y + x\)가 \(xy^2 + 7\)의 배수가 되는 정수쌍 \((x, y)\)를 모두 구하여라.

실수 \(p\)를 \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^5}\)라 하자. 등식 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 27 \) 을 만족하는 음이 아닌 세 실수 \(x, y, z\)에 대하여 \(x^p + y^p + z^p\)의 최댓값을 구하여라.

평행사변형 \(ABCD (AB < BC)\)가 있다. 삼각형 \(ABC\)의 내접원이 점 \(P\)와 \(Q\)에서 각각 변 \(BC\)와 \(AC\)에 접하고, 삼각형 \(ACD\)의 내접원이 점 \(R\)에서 변 \(CD\)에 접한다. 점 \(S\)는 직선 \(PQ\)와 \(AD\)의 교점이고, 점 \(T\)는 선분 \(BC\) 위의 점으로 \(AB = BT\)를 만족하는 점이며, 점 \(U\)는 직선 \(AR\)과 \(CS\)의 교점일 때 세 직선 \(AT\), \(BU\), \(PQ\)가 한 점에서 만남을 보여라.

학생 \(n\)명과 동아리 \(m\)개가 있는 어느 중학교에서 아래 조건을 만족하도록 학생들이 동아리에 가입하였다고 한다. 임의의 학생 \(x\)에 대하여, 동아리들을 적당히 잘 선택하면 그 동아리들에 모두 가입한 회원은 \(x\)밖에 없다. 각 학생이 가입한 동아리의 수를 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)이라 할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( a_1!(m-a_1)! + a_2!(m-a_2)! + \cdots + a_n!(m-a_n)! \leq m! \)