KMO 고등부 2차 2012 (제26회)

삼각형 \(ABC\)의 외접원 \(O\)의 지름의 길이가 \(2\)이고, 꼭지각 \(A\)는 둔각이다. 점 \(D\)는 변 \(AB\) 위의 점으로 \(overline{AD} = overline{AC}\)를 만족하는 점이고, 점 \(K\)는 원 \(O\) 위의 점으로 선분 \(AK\)가 원 \(O\)의 지름이 되게 하는 점이다. 선분 \(AK\)와 선분 \(CD\)가 점 \(L\)에서 만나고, 점 \(D\), \(K\), \(L\)을 지나는 원과 원 \(O\)가 점 \(P\) (\(\neq K\))에서 만난다고 하자. \(\\angle BCD = \\angle BAP = 10^\circ\)이면 \(overline{DP} = \\sin\\angle BAC\)임을 보여라. (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

어떤 모임에서 학생 \(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\), \(A_n\)이 서로 악수를 하였다. 학생 \(A_i\)가 악수한 횟수를 \(d_i\) (\(1 \leq i \leq n\))이라 할 때, \(d_1 + d_2 + \cdots + d_n > 0\)이다. 다음 조건을 모두 만족하는 \(i\), \(j\) \((1 \leq i < j \leq n)\)이 존재함을 보여라. (1) 학생 \(A_i\)와 학생 \(A_j\)는 악수를 하였다. (2) \(\dfrac{(d_1 + d_2 + \cdots + d_n)^2}{n^2} \leq d_i d_j\) (두 학생이 악수를 여러 번 할 수도 있다.) (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분) (중등부 4번문제와 동일)

등식 \(2^m p^2 + 1 = q^5\)을 만족하는 양의 정수 \(m\)과 소수 \(p\), \(q\)를 모두 구하여라. (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

등식 \(a^2 + b^2 + c^2 = 2abc + 1\)을 만족하는 양의 실수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \( (a - 2bc)(b - 2ca)(c - 2ab) \) 의 최댓값을 구하여라. (2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)

\(3\)보다 큰 소수 \(p\)가 다음 조건을 만족한다. \(2^x - 1\)이 \(p\)의 배수가 되는 양의 정수 \(x\) 중 가장 작은 것이 \(p - 1\)이다. \(p = 2k + 3\)이라 할 때, 수열 \({a_n}\)을 식 \( a_i = a_{k+i} = 2^i \ (1 \leq i \leq k), \quad a_{j+2k} = a_i a_{j+k} \ (j \geq 1) \) 에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 \({a_n}\)에는 \(p\)로 나눈 나머지가 모두 다른 \(2k\)개의 연속한 항이 존재함을 보여라. (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분) (중등부 6번문제와 동일)

삼각형 \(ABC\)의 내접원 \(O\)가 변 \(BC\), \(CA\)와 각각 \(D\), \(E\)에서 접한다. 점 \(B\)를 지나고 직선 \(DE\)와 평행한 직선이 원 \(O\)와 두 점에서 만난다고 하자. 이 두 점 중 \(B\)와 가까운 점을 \(F\), 다른 점을 \(G\), 직선 \(CG\)와 원 \(O\)의 교점을 \(H\) (\(\neq G\))라 하자. 점 \(G\)를 지나고 직선 \(EH\)와 평행한 직선과 직선 \(AC\)의 교점을 \(I\)라 할 때, 직선 \(IF\)와 원 \(O\)가 서로 다른 두 점 \(J\), \(F\)에서 만난다고 하자. 직선 \(CJ\)와 직선 \(EG\)의 교점을 \(K\), 점 \(K\)를 지나고 직선 \(JD\)와 평행한 직선을 \(\ell\)이라 할 때, 세 직선 \(\ell\), \(IF\), \(ED\)는 한 점에서 만남을 보여라. (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

\(\{a_1, a_2, \ldots, a_n\} = \{1, 2, \ldots, 10\}\)일 때, \(\\displaystyle\sum_{n=1}^{10}(n a_n^2 - n^2 a_n)\)의 최댓값을 구하여라. (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

\(4\)로 나눈 나머지가 \(3\)인 소수 \(p\)에 대하여 \( T = \{(i, j) \mid i, j \in \{0, 1, \ldots, p-1\}\} - {(0, 0)} \) 이라 하자. \(T\)의 임의의 부분집합 \(S\) (\(\neq \emptyset\))에 대하여, \(S\)의 부분집합 중 다음 조건을 모두 만족하는 집합 \(A\)가 존재함을 보여라. (1) \((x_i, y_i) \in A\) (\(1 \leq i \leq 3\))이면 \(x_1 + x_2 - y_3\)과 \(y_1 + y_2 + x_3\) 중 적어도 하나는 \(p\)의 배수가 아니다. (2) \(8 n(A) > n(S)\) (단, \(n(X)\)는 집합 \(X\)의 원소의 개수이다.) (2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)