KMO 고등부 2차 2010 (제24회)

양의 정수 \(7^{2^{20}} + 7^{2^{19}} + 1\)은 소수인 약수를 21개 이상 가짐을 보여라. (2010년 8월 22일 10:00-12:30)

양의 실수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a b + b c + c a = 1\)을 만족할 때 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \sqrt{a^2 + b^2 + 1/c^2} + \sqrt{b^2 + c^2 + 1/a^2} + \sqrt{c^2 + a^2 + 1/b^2} \geq \sqrt{33} \) (2010년 8월 22일 10:00-12:30)

삼각형 \(A B C\)의 내접원 \(I\)가 변 \(B C, C A, A B\)와 각각 \(P, Q, R\)에서 접한다고 하자. 두 점 \(B, C\)를 지나는 원이 원 \(I\)와 점 \(X\)에서 접하고, \(C, A\)를 지나는 원이 \(I\)와 점 \(Y\)에서 접하고, \(A, B\)를 지나는 원이 점 \(Z\)에서 접할 때, 세 직선 \(P X, Q Y, R Z\)가 한 점에서 만남을 보여라. (2010년 8월 22일 10:00-12:30)

총 \(n\)명\((n \geq 4)\)의 외교관들이 모여 있다. 임의의 네 외교관 \(A, B, C, D\)에 대하여, \(A\)와 \(B\)가 악수를 했고 \(B\)와 \(C\)가 악수를 했으며 \(C\)와 \(D\)가 악수를 했다면, 세 쌍 \(A\)와 \(C\), \(A\)와 \(D\), \(B\)와 \(D\) 중 악수를 했던 쌍이 반드시 존재한다. 이 때 다음을 증명하여라.

양의 실수 \(x, y, z\)가 \(x + y + z = 1\)을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \( \sqrt{x/(1-x)} + \sqrt{y/(1-y)} + \sqrt{z/(1-z)} > 2 \) (2010년 8월 22일 14:00-16:30)

원에 내접하는 사각형 \(A B C D\)에 대하여 직선 \(A B\)와 \(C D\)가 점 \(X\)에서 만난다. 점 \(B\)를 지나고 직선 \(A C\)와 직교하는 직선과 점 \(C\)를 지나고 직선 \(B D\)와 직교하는 직선의 교점을 \(P\)라 하고, 점 \(D\)를 지나고 직선 \(A C\)와 직교하는 직선과 점 \(A\)를 지나고 직선 \(B D\)와 직교하는 직선의 교점을 \(Q\)라 하자. 세 점 \(X, P, Q\)가 한 직선 위에 있음을 보여라. (2010년 8월 22일 14:00-16:30)

정보기관에서 테러리스트 용의자 2000명 사이에 휴대전화 통화가 있었는지 여부를 조사하였다. 그런데 서로 겹치지 않는 3명씩의 두 모임 \(A, B\)를 뽑아보면 \(A\)와 \(B\) 사이에는 반드시 통화하지 않았던 쌍이 있었다. 이 때, 통화한 적이 있는 쌍의 개수는 201000보다 작음을 보여라. (2010년 8월 22일 14:00-16:30)

원탁에 2010명의 사람이 둥글게 앉아 있다. 어떤 사람에게 과자를 주고, 그 사람으로부터 시계방향으로 1번째, 1+2번째, 1+2+3번째, …, 1+2+…+2009번째 사람에게 과자를 주었다. 이 때, 과자를 하나 이상 받은 사람의 수를 구하여라. (2010년 8월 22일 14:00-16:30)