2019년 9월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = x^2 + 5x + 4\), \(B = x^2 + 2\)에 대하여 \(A - B\)는?

\((2 + i) + (2 - 3i)\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 6x + a = 0\)이 중근을 갖도록 하는 상수 \(a\)의 값은?

다항식 \(x^3 - x^2 + 3\)을 \(x - 2\)로 나눈 나머지는?

직선 \(2x + y + 5 = 0\)을 \(x\)축의 방향으로 \(2\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동한 직선의 방정식이 \(2x + y + a = 0\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?

이차방정식 \(x^2 + 6x + 7 = 0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값은?

다항식 \(P(x)\)에 대하여 등식 \(x^3 + 3x^2 - x - 3 = (x^2 - 1) P(x)\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(P(1)\)의 값은?

연립방정식 \(\begin{cases} x - y - 1 = 0\ \\ x^2 - x y + 2y = 4 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은?

기울기가 \(5\)인 직선이 이차함수 \(f(x) = x^2 - 3x + 17\)의 그래프에 접할 때, 이 직선의 \(y\)절편은?

두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\dfrac{2a}{1 - i} + 3i = 2 + b i\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차다항식 \(f(x)\)를 \(x - 1\)로 나누었을 때의 나머지와 \(x - 3\)으로 나누었을 때의 나머지가 \(6\)으로 같다. 이차다항식 \(f(x)\)를 \(x - 4\)로 나눈 나머지는?

직선 \(y = \dfrac{1}{3} x\) 위의 두 점 \(A(3, 1)\), \(B(a, b)\)가 있다. 제 \(2\) 사분면 위의 한 점 \(C\)에 대하여 삼각형 \(B O C\)와 삼각형 \(O A C\)의 넓이의 비가 \(2 : 1\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a < 0\)이고, \(O\)는 원점이다.)

이차함수 \(f(x) = x^2 + 4x + 3\)의 그래프와 직선 \(y = 2x + k\)가 서로 다른 두 점 \(P\), \(Q\)에서 만난다. 점 \(P\)가 이차함수 \(y = f(x)\)의 그래프의 꼭짓점일 때, 선분 \(P Q\)의 길이는? (단, \(k\)는 상수이다.)

\(x\)에 대한 이차부등식 \(x^2 - (n + 5) x + 5n \leq 0\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합은?

원 \(C_1: x^2 + y^2 = 2\)를 \(x\)축의 방향으로 \(k\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(k\)만큼 평행이동한 원을 \(C_2\)라 하자. 점 \(A(1, 1)\)에서 원 \(C_2\)에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 상수 \(k\)의 값은? (단, \(k > 2\))

좌표평면 위에 두 점 \(A(2, 4)\), \(B(6, 6)\)이 있다. 점 \(A\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(A'\)이라 하자. 점 \(C(0, k)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(k\)의 값은? (가) \(0 < k < 3\) (나) 삼각형 \(A' B C\)의 넓이는 삼각형 \(A C B\)의 넓이의 \(2\)배이다.

양수 \(a\)에 대하여 \(0 \leq x \leq a\)에서 이차함수 \(f(x) = x^2 - 8x + a + 6\)의 최솟값이 \(0\)이 되도록 하는 모든 \(a\)의 값의 합은?

\(0\)이 아닌 실수 \(m\)에 대하여 직선 \(l: y = \dfrac{1}{m} x + 2\) 위의 점 \(A(a, 4)\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(B\)라 하고, 점 \(B\)에서 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. 다음은 삼각형 \(O B H\)가 \(m\)의 값에 관계없이 이등변삼각형임을 보이는 과정이다. (단, \(O\)는 원점이다.) 점 \(A(a, 4)\)는 직선 \(l: y = \dfrac{1}{m} x + 2\) 위의 점이므로 \(a = \) (가). 직선 \(B H\)는 직선 \(l\)에 수직이므로 직선 \(B H\)의 방정식은 \(y = -m(x - \) (가) \()\). 직선 \(l\)과 직선 \(B H\)가 만나는 점 \(H\)의 좌표는 \(H(\dfrac{2 m^3 - 2 m}{(나)}, \dfrac{4 m^2}{(나)})\). 선분 \(O H\)의 길이는 \(\sqrt{(\dfrac{2 m^3 - 2 m}{(나)})^2 + (\dfrac{4 m^2}{(나)})^2} = \dfrac{|2 m|}{(나)} \sqrt{m^4 + (다) \times m^2 + 1}\)이므로 선분 \(O H\)의 길이와 선분 \(O B\)의 길이가 서로 같다. 따라서 삼각형 \(O B H\)는 \(m\)의 값에 관계없이 이등변삼각형이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(m)\), \(g(m)\)이라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(k\)라 할 때, \(f(k) \times g(k)\)의 값은?

좌표평면 위에 세 점 \(A(0, 9)\), \(B(-9, 0)\), \(C(9, 0)\)이 있다. 실수 \(t\) \((0 < t < 18)\)에 대하여 세 점 \(O\), \(A\), \(B\)를 \(x\)축의 방향으로 \(t\)만큼 평행이동한 점을 각각 \(O'\), \(A'\), \(B'\)이라 하자. 삼각형 \(O C A\)의 내부와 삼각형 \(O' A' B'\)의 내부의 공통부분의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(S(t)\)의 최댓값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

\(9\) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 다항식 \(P(x)\)가 \(P(x) = x^4 + x^2 - n^2 - n\)일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(P(\sqrt{n}) = 0\) ㄴ. 방정식 \(P(x) = 0\)의 실근의 개수는 \(2\)이다. ㄷ. 모든 정수 \(k\)에 대하여 \(P(k) \neq 0\)이 되도록 하는 모든 \(n\)의 값의 합은 \(31\)이다.

좌표평면 위의 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)에 대하여 삼각형 \(A B C\)에 내접하는 원의 중심을 \(P\)라 할 때, 선분 \(O P\)의 길이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

(OCR 누락) 의 전개식에서 (OCR 누락) 의 계수를 구하시오.

이차함수 (OCR 누락) 의 최댓값이 (OCR 누락) 일 때, 상수 (OCR 누락) 의 값을 구하시오.

원 \(x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0\)의 반지름의 길이를 구하시오.

이차함수 \(f(x) = x^2 - 2x + k\)의 그래프와 직선 \(y = 3x + 1\)이 만나지 않도록 하는 자연수 \(k\)의 최솟값을 구하시오.

연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - x - 56 \leq 0\ \\ 2 x^2 - 3x - 2 > 0 \end{cases}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 구하시오.

직선 \(y = x\) 위의 점을 중심으로 하고, \(x\)축과 \(y\)축에 동시에 접하는 원 중에서 직선 \(3x - 4y + 12 = 0\)과 접하는 원의 개수는 \(2\)이다. 두 원의 중심을 각각 \(A\), \(B\)라 할 때, \(\overline{A B}^2\)의 값을 구하시오.

반지름의 길이가 \(6\)인 원 모양의 종이가 있을 때, 다음과 같은 방법으로 새로운 원을 그린다. 원의 중심 \(O\)를 좌표평면의 원점으로 하고, 두 점 \(A\), \(B\)를 지나는 직선을 \(y\)축으로 하는 좌표평면을 그렸을 때, 세 점 \(A\), \(E\), \(F\)를 지나는 원의 중심을 \(O'(a, b)\)라 하자. 삼각형 \(A E O'\)의 넓이가 \(12\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.)

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 \(A(0, 2 + 2 \sqrt{2})\), \(B(-2, 0)\), \(C(2, 0)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(A B C\)가 있다. 점 \(B\)에서 선분 \(A C\)에 내린 수선의 발을 \(D\), 점 \(C\)에서 선분 \(A B\)에 내린 수선의 발을 \(E\), 선분 \(B D\)와 선분 \(C E\)가 만나는 점을 \(F\)라 할 때, 사각형 \(A E F D\)의 둘레의 길이를 \(l\)이라 하자. \(l^2 = a + b \sqrt{2}\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 자연수이다.)

좌표평면 위에 \(0 < \dfrac{b}{2} < a < b\)인 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 세 원 \(C_1: x^2 + y^2 = a^2\), \(C_2: (x - b)^2 + y^2 = (b - a)^2\), \(C_3: (x - b + a)^2 + y^2 = b^2\)이 있다. 직선 \(y = -\dfrac{4}{3} x\)와 원 \(C_1\)이 만나는 점 중 제 \(2\) 사분면 위에 있는 점을 \(P\)라 하고, 점 \(P\)에서 원 \(C_2\)에 그은 두 접선을 \(l_1\), \(l_2\)라 하자. 직선 \(l_1\)은 \(x\)축에 평행하고, 직선 \(l_2\)는 원 \(C_2\) 위의 점 \(Q\)에서 접한다. 원 \(C_3\) 위의 점 \(R\)에 대하여 삼각형 \(P Q R\)의 넓이의 최댓값이 \(240\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오.