2023년 3월 고2 학력평가

두 다항식 \(A = x^3 + 2x^2\), \(B = 2x^3 - x^2 - 1\) 에 대하여 \(A+B\)를 간단히 하면?

실수 \(x\)에 대한 조건 '\(x\)는 음이 아닌 실수이다.'의 진리집합은?

\({}_5 P_3\)의 값은?

수직선 위의 두 점 \(A(-5)\), \(B(1)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(3:1\)로 외분하는 점의 좌표는?

\((\sqrt{2} + \sqrt{-2})^2\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

\(a+b=2\), \(a^3+b^3=10\)일 때, \(a b\)의 값은?

점 \((6, a)\)를 지나고 직선 \(3x+2y-1=0\)에 수직인 직선이 원점을 지날 때, \(a\)의 값은?

이차함수 \(y=x^2+a x+a^2\)의 그래프가 직선 \(y=-x\)에 접하도록 하는 양수 \(a\)의 값은?

원 \(x^2+y^2=r^2\) 위의 점 \((a, 4 \sqrt{3})\)에서의 접선의 방정식이 \(x - \sqrt{3} y + b = 0\)일 때, \(a+b+r\)의 값은? (단, \(r\)는 양수이고, \(a, b\)는 상수이다.)

삼차방정식 \(x^3+2x-3=0\)의 한 허근을 \(a+b i\)라 할 때, \(a^2 b^2\)의 값은? (단, \(a, b\)는 실수이고, \(i = \sqrt{-1}\)이다.)

전체집합 \(U\)가 어떤 자연수 이하의 자연수의 집합이고, 두 부분집합 \(A\)는 어떤 수의 약수의 집합, \(B\)는 어떤 수의 배수의 집합일 때, \(A \cup B\)에 대한 값은? (OCR 일부 손실)

1학년 학생과 2학년 학생이 일렬로 나열된 의자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 앉는 경우의 수는? (가) 1학년 학생끼리는 이웃하지 않는다. (나) 양 끝에 있는 의자에는 모두 1학년 학생이 앉는다. (OCR 인원수 손실)

집합 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)에 대하여 \(X\)에서 \(X\)로의 세 함수 \(f, g, h\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f\)는 항등함수이고 \(g\)는 상수함수이다. (나) 집합 \(X\)의 모든 원소 \(x\)에 대하여 \(f(x) + g(x) + h(x) = 7\)이다. \(g(3) + h(1)\)의 값은?

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 + 3x - 10 < 0 \\ a x \geq a^2 \end{cases}\) 을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(4\)가 되도록 하는 정수 \(a\)의 값은?

다항식 \(P(x)\)와 상수 \(a\)에 대하여 등식 \(x^3 - x^2 + 3x - 2 = (x+2) P(x) + a x\) 가 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(P(-2)\)의 값은?

집합 \(X = \{x | 0 \leq x \leq 4\}\)에 대하여 \(X\)에서 \(X\)로의 함수 \(f(x) = \begin{cases} a x^2 + b \text{ } (0 \leq x < 3) \\ x - 3 \text{ } (3 \leq x \leq 4) \end{cases}\) 가 일대일대응일 때, \(f(1)\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

다음 조건을 만족시키는 허수 \(z\)가 존재하도록 하는 두 정수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 최솟값은? (단, \(\bar{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.) (가) (조건 OCR 손실) (나) (조건 OCR 손실)

실수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p: |x - k| \leq 2\), \(q: x^2 - 4x - 5 \leq 0\) 이 있다. 명제 \(p \rightarrow q\)와 명제 \(p \rightarrow tilde.op q\)가 모두 거짓이 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 합은?

다음 조건을 만족시키는 집합 \(A\)의 개수는? (가) \(\{0\} \subset A \subset \{x | x \text{ 는 실수}\}\) (나) \(a^2 - 2 \notin A\)이면 \(a \notin A\)이다. (다) \(n(A) = 4\)

함수 \(f(x) = \begin{cases} -(x-a)^2 + b \text{ } (x \leq a) \\ -\sqrt{x-a} + b \text{ } (x > a) \end{cases}\) 와 서로 다른 세 실수 \(\alpha, \beta, \gamma\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(\{f(x) - \alpha\} \{f(x) - \beta\} = 0\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값은 \(\alpha, \beta, \gamma\)뿐이다. (나) \(f(\alpha) = \alpha\), \(f(\beta) = \beta\). \(\alpha + \beta + \gamma = 15\)일 때, \(f(\alpha + \beta)\)의 값은? (단, \(a, b\)는 상수이다.)

좌표평면 위에 사분원의 호 \(C: x^2 + y^2 = 25 (x \leq 0, y \geq 0)\)과 점 \(A(4, 2)\)가 있다. 호 \(C\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여 점 \(Q\)를 삼각형 \(A P Q\)의 무게중심이 원점과 일치하도록 잡는다. 점 \(A\)를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 \(A'\)이라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 선분 \(P Q\)의 중점의 좌표는 \((-2, -1)\)이다. ㄴ. 선분 \(A' Q\)의 길이는 항상 일정하다. ㄷ. 삼각형 \(A' Q P\)의 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M, m\)이라 할 때, \(M \times m = 20 \sqrt{5}\)이다.

두 집합 \(A = \{-7, -5, 3\}\), \(B = \{-7, -5, 9\}\)에 대하여 집합 \(A \cap B\)의 모든 원소의 곱을 구하시오.

그림은 함수 \(f: X \rightarrow X\)를 나타낸 것이다. \((f \circ f)(1) + f^{-1}(1)\)의 값을 구하시오.

다항식 \(A(x)\)를 \(B(x)\)로 나눈 몫이 \(Q(x)\), 나머지가 \(R(x)\)일 때, \(A(x)\)를 다른 식으로 나눈 나머지를 구하시오. (OCR 일부 손실)

주어진 구간에서 함수의 최댓값이 특정 값이 되도록 하는 상수의 값을 구하시오. (OCR 일부 손실)

좌표평면 위의 네 점 \(A, B, C, D\)가 다음 조건을 만족시킬 때 값을 구하시오. (가) 직선 \(C D\)의 기울기는 음수이다. (나) \(\overline{A B} = \overline{C D}\)이고 \(\overline{A D} \parallel \overline{B C}\)이다. (OCR 좌표 손실)

서로 다른 네 종류의 인형이 각각 \(2\)개씩 있다. 이 \(8\)개의 인형 중에서 \(5\)개를 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 인형끼리는 서로 구별하지 않는다.)

자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(y = n\)이 이차함수 \(y = x^2 - 4x + 4\)의 그래프와 만나는 두 점의 \(x\)좌표를 각각 \(x_1, x_2\)라 하자. \(\dfrac{|x_1| + |x_2|}{2}\)의 값이 자연수가 되도록 하는 \(100\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하시오.

원 \((x-6)^2 + y^2 = r^2\) 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)가 있다. 점 \(P\)를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 \((x_1, y_1)\)이라 하고, 점 \(Q\)를 \(x\)축의 방향으로 \(k\)만큼 평행이동한 점의 좌표를 \((x_2, y_2)\)라 하자. \(\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)의 최솟값이 \(0\)이고 최댓값이 \(\dfrac{4}{3}\)일 때, \(|r + k|\)의 값을 구하시오. (단, \(x_1 \neq x_2\)이고, \(r\)는 양수이다.)

두 실수 \(a (a < 1), b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-a}{x-1} + 2 \text{ } (x \leq a) \\ b x (x - a) + 1 \text{ } (x > a) \end{cases}\) 라 하자. 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 \(a, b\)의 모든 순서쌍이 \((a_1, b_1), (a_2, b_2)\)일 때, \(-40 \times (a_1 + b_1 + a_2 + b_2)\)의 값을 구하시오. (가) \(x \leq 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \geq f(-2)\)이다. (나) 방정식 \(|f(x)| = 2\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\)이다.