2025년 3월 고3 학력평가

\(\sqrt[3]{4} \times 2^{-\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 4x^2 + x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)이 \(a_4 = 2 a_3 + 3 a_2\)를 만족시킬 때, 수열 \({a_n}\)의 공비는?

닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 정의된 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1+} f(x) - \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1-} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 + x)(2 x^2 - x)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi + \theta\right) = \dfrac{1}{3}\)일 때, \(\sin \theta \tan \theta\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = x^3 + x\)이고 \(f(0) = -1\)일 때, \(f(2)\)의 값은?

두 실수 \(a = (\log 3)^2 - (\log 2)^2\), \(b = \log_6 10\)에 대하여 \(10^{a b}\)의 값은?

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = -3 t^2 + 6 t\)이다. 양수 \(a\)에 대하여 시각 \(t = a\)에서 점 P의 위치가 \(0\)일 때, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2 a\)까지 점 P가 움직인 거리는?

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = \begin{cases} 10 \text{ (} n \text{이 } 3 \text{의 배수가 아닌 경우)} \\ -19 \text{ (} n \text{이 } 3 \text{의 배수인 경우)} \end{cases}\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \displaystyle\sum_{k=1}^{3n} a_k\)를 만족시키는 자연수 \(n\)의 값은?

\(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 + 3 a x^2 + 4 a\)라 하자. 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(-40\)일 때, \(f(2)\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 2 x^2 - x + 4\)에 대하여 원점 \(O\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그은 접선의 접점을 \(A\)라 하고, 곡선 위의 점 \(B(-2, f(-2))\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(C\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 세 선분 \(O A\), \(O C\), \(B C\)로 둘러싸인 부분의 넓이는?

\(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \begin{cases} a \sin x \text{ (} x < 0 \text{)} \\ 1 - \cos x \text{ (} x \geq 0 \text{)} \end{cases}\)이 있다. 닫힌구간 \([-\pi, \pi]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 하자. \(M - m = 4\)를 만족시키는 모든 \(a\)의 값의 곱은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(x_1 \leq x_2\)인 모든 실수 \(x_1\), \(x_2\)에 대하여 부등식 \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} {f(t) - f(a)} d t \geq \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f'(a)(t - a) d t\)를 만족시키는 모든 실수 \(a\)의 값의 범위가 \(a \leq -1\) 또는 \(a \geq 3\)이다. \(f(1) = 15\), \(f'(1) = 1\)일 때, \(f(4)\)의 값은?

세 실수 \(a\), \(p\), \(q\) \((p < q)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(f(x) = \begin{cases} |2^x - 4| \text{ (} x \leq p \text{ 또는 } x \geq q \text{)} \\ a x + b \text{ (} p < x < q \text{)} \end{cases}\)이다. 함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 일대일대응일 때, \(f\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\)의 값은? (OCR 일부 손실)

방정식 \(\log_3(x - 2) = \log_9(x + 10)\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

\(x\)에 대한 방정식 \(x^3 + 3 x^2 - k = 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 자연수 \(k\)의 개수를 구하시오.

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k = 8\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k^2 = 20\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 (a_k + 3)(a_k - 1)\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{x} {f(t) + t^2} d t = x f(x) - x^3\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\int_{0}^{4} f'(x) d x\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 삼각형 \(A B C\)에서 선분 \(B C\)를 \(3 : 1\)로 내분하는 점을 \(D\)라 하고, \(\angle A D B = \theta\)라 하자. \(\overline{A D} = \sqrt{2}\), \(\overline{A B} : \overline{A C} = 2 : 1\), \(\cos \theta = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\)일 때, 삼각형 \(A B D\)의 외접원의 넓이는 \(\dfrac{q}{p}\pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

첫째항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{n} \text{ (} a_n \geq 3 \text{)} \\ 10 \text{ (} a_n < 3 \text{)} \end{cases}\)을 만족시킬 때, \(a_6 = 2\)가 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합을 구하시오.

삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} -f(x) \text{ (} x < 0 \text{)} \\ |f(x)| - |2 x^2 - 8| \text{ (} x \geq 0 \text{)} \end{cases}\)이라 하자. 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(f(-5)\)의 값을 구하시오.