2023년 6월 고2 학력평가

\((3^{2+\sqrt{2}})^{2-\sqrt{2}}\)의 값은?

\(\dfrac{\log_4 64}{\log_4 8}\)의 값은?

반지름의 길이가 4이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{5}{12}\pi\)인 부채꼴의 호의 길이는?

\(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}\)일 때, 방정식 \(2 \sin x - 1 = 0\)의 해는?

다음은 상용로그표의 일부이다. 위의 표를 이용하여 \(\log 619\)의 값을 구한 것은?

\(\overline{A B} = 3\), \(\overline{A C} = 6\)이고 \(\cos A = \dfrac{5}{9}\)인 삼각형 ABC에서 선분 BC의 길이는?

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(y = 2^{x+a} + b\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a + b\)의 값은? (단, 직선 \(y = 3\)은 함수의 그래프의 점근선이다.)

함수 \(y = \log_2 x + 1\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼 평행이동한 후 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동하였더니 함수 \(y = 2^{x-1} + 5\)의 그래프와 일치하였다. 상수 \(a\)의 값은?

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2}\pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin \theta = -\dfrac{1}{3}\)일 때, \(\tan \theta\)의 값은?

세 상수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 함수 \(y = a \sin b x + c\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a \times b \times c\)의 값은? (단, \(a > 0\), \(b > 0\))

반지름의 길이가 4인 원에 내접하는 삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 둘레의 길이가 12일 때, \(\sin A + \sin B + \sin(A + B)\)의 값은?

함수 \(f(x) = 3^{x-2} + a\)의 역함수의 그래프가 점 \((a + 5, a + 2)\)를 지날 때, \(3^a\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

부등식 \((2^x - 8)\left(\dfrac{1}{3^x} - 9\right) \geq 0\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수는?

등식 \(\left(\dfrac{\sqrt[6]{5}}{\sqrt[4]{2}}\right)^m \times n = 100\)을 만족시키는 두 자연수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(m + n\)의 값은?

\(-\dfrac{3}{2}\pi \leq x \leq \dfrac{3}{2}\pi\)에서 정의된 함수 \(f(x) = a \cos \dfrac{2}{3}x + a\) \((a > 0)\)이 있다. 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(y\)축과 만나는 점을 A, 직선 \(y = \dfrac{a}{2}\)와 만나는 두 점을 각각 B, C라 하자. 삼각형 ABC가 정삼각형일 때, \(a\)의 값은?

0이 아닌 실수 \(t\)에 대하여 두 곡선 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_4 x\)와 직선 \(y = t\)가 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 삼각형 OPQ의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, O는 원점이다.) ㄱ. \(S(1) = 1\) ㄴ. \(S(2) = 64 \times S(-2)\) ㄷ. \(t > 0\)일 때, \(t\)의 값이 증가하면 \(\dfrac{S(t)}{S(-t)}\)의 값도 증가한다.

좌표평면에서 곡선 \(y = \sqrt{x}\) \((x > 0)\) 위의 점 P에 대하여 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta = -1\)일 때, 선분 OP의 길이는? (단, O는 원점이고, \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

그림과 같이 두 곡선 \(y = 2^{x+1}\), \(y = 2^{-x+1}\)과 세 점 \(A(-1, 1)\), \(B(1, 1)\), \(C(0, 2)\)가 있다. 실수 \(k\) \((1 < k < 2)\)에 대하여 두 곡선 \(y = 2^{x+1}\), \(y = 2^{-x+1}\)과 직선 \(y = k\)가 만나는 점을 각각 D, E, 직선 \(y = 2k\)가 만나는 점을 각각 F, G라 하자. 사각형 ABED의 넓이와 삼각형 CFG의 넓이가 같을 때, \(k\)의 값은?

그림과 같이 길이가 4인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB의 중점을 O라 하고, 호 AB 위의 점 C에 대하여 점 A를 지나고 선분 OC와 평행한 직선과 호 AB의 교점을 P, 선분 OC와 선분 BP의 교점을 Q라 하자. 점 Q를 지나고 선분 PO와 평행한 직선과 선분 OB의 교점을 D라 하자. \(\angle C A B = \theta\)라 할 때, 삼각형 QDB의 넓이를 \(S(\theta)\), 삼각형 PQC의 넓이를 \(T(\theta)\)라 하자. 다음은 \(S(\theta)\)와 \(T(\theta)\)를 구하는 과정이다. (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}\)) \(\angle C A B = \theta\)이므로 \(\angle C O B = 2 \theta\)이다. 삼각형 POB가 이등변삼각형이고 \(\angle O Q B = \dfrac{\pi}{2}\)이므로 점 Q는 선분 PB의 중점이고 \(\angle P O Q = 2 \theta\)이다. 선분 PO와 선분 QD가 평행하므로 삼각형 POB와 삼각형 QDB는 닮음이다. 따라서 \(\overline{Q D} = \) (가) 이고 \(\angle Q D B = \) (나) 이므로 \(S(\theta) = \dfrac{1}{2} \times \) (가) \(\times 1 \times \sin(\)(나)\()\)이다. \(\overline{C Q} = \overline{C O} - \overline{Q O}\)이므로 \(T(\theta) = \dfrac{1}{2} \times \overline{P Q} \times \overline{C Q} = \sin 2 \theta \times (2 - \) (다) \()\)이다. 위의 (가)에 알맞은 수를 \(p\)라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(\theta)\), \(g(\theta)\)라 할 때, \(p \times f\left(\dfrac{\pi}{16}\right) \times g\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\)의 값은?

1이 아닌 두 자연수 \(a\), \(b\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a < b < a^2\) (나) \(\log_a b\)는 유리수이다. \(\log a < \dfrac{3}{2}\)일 때, \(a + b\)의 최댓값은?

자연수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{n-1}{6}\pi \leq x \leq \dfrac{n+2}{6}\pi\)에서 함수 \(f(x) = |\sin x - \dfrac{1}{2}|\)의 최댓값을 \(g(n)\)이라 하자. 40 이하의 자연수 \(k\)에 대하여 \(g(k)\)가 무리수가 되도록 하는 모든 \(k\)의 값의 합은?

\(\sqrt[3]{27^2} \times 3^2\)의 값을 구하시오.

방정식 \(\log_{\dfrac{1}{2}}(x + 3) = -4\)의 해를 구하시오.

두 함수 \(y = \cos \dfrac{2}{3}x\)와 \(y = \tan \dfrac{3}{a}x\)의 주기가 같을 때, 양수 \(a\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 4 \cos(x + \pi) + k\)의 그래프가 점 \(\left(\dfrac{\pi}{3}, 5\right)\)를 지날 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

등식 \((3^a + 3^{-a})^2 = 2(3^a + 3^{-a}) + 8\)을 만족시키는 실수 \(a\)에 대하여 \(27^a + 27^{-a}\)의 값을 구하시오.

자연수 전체의 집합의 두 부분집합 \(A = {a, b, c}\), \(B = {\log_2 a, \log_2 b, \log_2 c}\)에 대하여 \(a + b = 24\)이고 집합 \(B\)의 모든 원소의 합이 12일 때, 집합 \(A\)의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 서로 다른 세 자연수이다.)

자연수 \(n\)에 대하여 \(0 \leq x \leq 4\)일 때, \(x\)에 대한 방정식 \(\sin \pi x - \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = 0\)의 모든 실근의 합을 \(f(n)\)이라 하자. \(f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{A B} = \overline{A C} = 1\), \(\angle B A C = \dfrac{\pi}{2}\)인 삼각형 ABC 모양의 종이가 있다. 선분 BC 위의 점 D, 선분 AB 위의 점 E, 선분 AC 위의 점 F에 대하여 선분 EF를 접는 선으로 하여 점 A가 점 D와 겹쳐지도록 접었다. 삼각형 BDE와 삼각형 DCF의 외접원의 반지름의 길이의 비가 \(2 : 1\)일 때, 선분 DF의 길이는 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 고려하지 않으며, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

함수 \(f(x) = |x - k| - 4\) (\(k\)는 실수)와 양의 실수 \(a\) \((a \neq 1)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} a^{-f(x)} \text{ } (f(x) < 0) \\ a^{f(x)} \text{ } (f(x) \geq 0) \end{cases}\)이라 하자. 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = 16\)의 교점의 개수가 3이고 \(g(1) = 16\)일 때, 모든 \(f(a - 2)\)의 값의 합을 구하시오.