2021년 11월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = x^2 - 2 x y + y^2\), \(B = 3 x y - y^2\) 에 대하여 \(A + B\)는?

모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(x^2 + (a+1) x + 4 = x^2 + 3 x + b\) 가 성립할 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

그림은 함수 \(f : X \rightarrow X\)를 나타낸 것이다. \(f(3) + f^{-1}(3)\)의 값은?

좌표평면 위의 점 \((3, 9)\)를 지나고 기울기가 \(2\)인 직선의 \(y\)절편은?

좌표평면에서 직선을 원점에 대하여 대칭이동한 직선이 점을 지날 때, 상수의 값은?

복소수에 대하여의 값은?

다항식에 대하여 다항식를 로 나눈 나머지가 일 때, 다항식를 로 나눈 나머지는?

좌표평면에서 원 \(x^2 + y^2 = 10\) 위의 점 \((3, 1)\)에서의 접선이 점 \((1, a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은?

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - a x - 4 = 0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 하자. \(\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} = -6\)일 때, 양수 \(a\)의 값은?

좌표평면에서 직선 \(y = m x - 4\)가 이차함수 \(y = x^2 + x\)의 그래프에 접하도록 하는 양수 \(m\)의 값은?

실수에 대한 두 조건 \(p\), \(q : x^2 + 2 x - 8 \leq 0\)에 대하여가 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 자연수의 최솟값은?

연립방정식 \(\begin{cases} 3 x - 2 y = 7\ \\ 6 x^2 - x y - 2 y^2 = 0 \end{cases}\)의 해를, 라 할 때, 의 값은?

좌표평면에서 두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 원 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = b^2\)을 \(x\)축의 방향으로 \(3\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(-8\)만큼 평행이동한 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)가 \(x\)축과 \(y\)축에 동시에 접할 때, \(a + b\)의 값은?

\(\angle C = 90°\)인 직각삼각형 ABC에 대하여 삼각형 ABC의 넓이가 \(16\)일 때, \(\overline{A B}^2\)의 최솟값은?

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - 2 x - 3 \geq 0\ \\ x^2 - (5 + k) x + 5 k \leq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(5\)가 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 곱은?

\(2\) 이상의 네 자연수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)에 대하여 \((14^2 + 2 \times 14)^2 - 18 \times (14^2 + 2 \times 14) + 45 = a \times b \times c \times d\) 일 때, \(a + b + c + d\)의 값은?

좌표평면 위에 두 점 \(A(0, \sqrt{3})\), \(B(1, 0)\)과 원 \(C : (x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 9\)가 있다. 원 \(C\) 위의 점 \(P\)에 대하여 삼각형 ABP의 넓이가 자연수가 되도록 하는 모든 점 \(P\)의 개수는?

두 복소수 \(z_1 = a + b i\), \(z_2 = c + d i\)에 대하여 \(a, b, c, d\)는 자연수이고 \(z_1 \overline{z_1} = 10\)일 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(i = \sqrt{-1}\)이고, \(\overline{z}\)는 복소수 \(z\)의 켤레복소수이다.) <보기> ㄱ. \(a^2 + b^2 = 10\) ㄴ. \(z_1 + \overline{z_2} = 3\)이면 \(c + d = 5\)이다. ㄷ. \((z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) = 41\)이면 \(z_2 \overline{z_2}\)의 최댓값은 \(17\)이다.

한 변의 길이가 \(3\)인 정삼각형 ABC가 있다. \(0 < k < 1\)인 실수 \(k\)에 대하여 두 선분 AB, BC를 \((1-k) : k\)로 내분하는 점을 각각 P, Q라 하고 두 선분 AB, BC를 \(k : (k+1)\)로 외분하는 점을 각각 P', Q'이라 하자. 삼각형 PBQ의 넓이를 \(S_1\), 삼각형 P'Q'B의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, 다음은 \(S_1 : S_2 = 1 : 4\)가 되도록 하는 \(k\)의 값을 구하는 과정이다. 두 선분 AB, BC의 길이가 모두 \(3\)이므로 \(\overline{A P} = \overline{B Q} = boxed(\text{(가)})\), \(\overline{A P'} = \overline{B Q'} = 3 k\)이다. 두 점 P, P'에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 하면 두 삼각형 PBH와 P'BH'에서 \(\overline{P H} : \overline{P' H'} = \overline{P B} : \overline{P' B} = {3 - (boxed(\text{(가)}))} : (boxed(\text{(나)}))\)이므로 \(S_1 : S_2 = \left(\dfrac{1}{2} \times \overline{B Q} \times \overline{P H}\right) : \left(\dfrac{1}{2} \times \overline{B Q'} \times \overline{P' H'}\right) = (\overline{B Q} \times \overline{P B}) : (\overline{B Q'} \times \overline{P' B})\)이다. 따라서 \(k = boxed(\text{(다)})\)이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(k)\), \(g(k)\)라 하고 (다)에 알맞은 수를 \(p\)라 할 때, \(f(p) \times g(p)\)의 값은?

전체집합 \(U = \{x | x = 10 이하의 자연수\}\)의 두 부분집합 \(A = {1, 2, 3, 4, 5}\), \(B = {3, 4, 5, 6, 7}\)에 대하여 집합 \(U\)의 부분집합 \(X\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 집합 \(X\)의 모든 원소의 합의 최솟값은? (가) \(n(X) = 6\) (나) \(A - X = B - X\) (다) \((X - A) \cap (X - B) \neq \emptyset\)

\(1 \leq a < b\)인 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 세 집합 \(A = \{(x, y) | y = \dfrac{4}{3} x 또는 (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 1\}\), \(B = \{(x, y) | y = \dfrac{4}{3} x 또는 (x - a - 1)^2 + (y - a)^2 = a^2\}\), \(C = \{(x, y) | y = \dfrac{4}{3} x 또는 (x - b - 1)^2 + (y - b)^2 = b^2\}\)이 있다. \(n(A \cup B \cup C) = 3\)일 때, \(a + b\)의 값은?

두 집합 \(A = {2, 5}\), \(B = {2, 4, a}\)에 대하여 \(A \subset B\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

다항식 \((x + a)^3 + x (x - 4)\)의 전개식에서 \(x^2\)의 계수가 \(10\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

좌표평면 위의 세 점 A, B, C에 대하여 삼각형 ABC의 무게중심이 직선 위에 있을 때, 상수의 값을 구하시오. (단, 점 C는 제사분면 위의 점이다.)

세 양수에 대하여 좌표평면 위에 서로 다른 네 점 O, A, B, C가 있다. 사각형 OABC가 선분 OB를 대각선으로 하는 마름모일 때, 의 값을 구하시오. (단, 네 점 O, A, B, C 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다.)

≤≤에서 정의된 이차함수의 최솟값이 일 때, 함수의 최댓값을 구하시오. (단, 는 양수이다.)

집합 \(X = {2, 3}\)을 정의역으로 하는 함수 \(f(x) = a x - 3 a\)와 함수 \(f(x)\)의 치역을 정의역으로 하고 집합 \(X\)를 공역으로 하는 함수 \(g(x) = x^2 + 2 x + b\)가 있다. 함수 \(g \circ f : X \rightarrow X\)가 항등함수일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2 x + 2 \text{ } (x < 2)\ \\ x^2 - 7 x + 16 \text{ } (x \geq 2) \end{cases}\)에 대하여 \((f \circ f)(a) = f(a)\)를 만족시키는 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{A D} = 4\)인 등변사다리꼴 ABCD에 대하여 선분 AB를 지름으로 하는 원과 선분 CD를 지름으로 하는 원이 오직 한 점에서 만난다. 사각형 ABCD의 넓이와 둘레의 길이를 각각 \(S\), \(l\)이라 하면 \(S^2 + 8 l = 6720\)이다. \(\overline{B D}^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\overline{A D} < \overline{B C}\), \(\overline{A B} = \overline{C D}\))

이차함수 \(f(x) = a (x - 1)^2 - 10\) (\(a\)는 양의 상수)와 실수 \(k\)에 대하여 \(k - 1 \leq x \leq k + 1\)에서 함수 \(|f(x)|\)의 최댓값을 \(g(k)\)라 할 때, 함수 \(g(k)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(g(k) = 10\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 최댓값은 \(\sqrt{10}\)이다. 함수 \(g(k)\)가 \(k = b\)와 \(k = c\)에서 최솟값 \(m\)을 가질 때, \(b^2 + c^2 + m^2\)의 값을 구하시오. (단, \(b\), \(c\)는 서로 다른 상수이다.)