2025년 7월 고3 학력평가 (기하)

\(\sqrt[4]{3} \times 3^{\dfrac{3}{4}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1 \times a_{13} = 64\), \(\dfrac{a_5}{a_2} = 2\)일 때, \(a_4\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} a x^3 - 5 \text{(} x < 2 \text{)} \\ a x + 1 \text{(} x \geq 2 \text{)} \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = (x^2 - 1) f(x)\)라 하자. \(f(1) = 5\)일 때, \(g'(1)\)의 값은?

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)일 때, \(\sin \theta \cos \theta\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{1}^{x} f(t) d t = x f(x) - x^3\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값은?

1이 아닌 두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\log_2 a + \log_4 a b = \dfrac{5}{2}\)일 때, \(a + b\)의 값은?

이차함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\int_{-1}^1 f'(x) d x = 0\)을 만족시킬 때, \(f(0) - f(-1) + \displaystyle\int_{0}^{1} {x^2 + 2 x + f'(x)} d x\)의 값은?

다음과 같이 \(0 \leq x < 2\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 있다. \(n - 1 \leq x < n\)일 때, \(f(x) = 3^n \sin \pi x + 4\)이다. (단, \(n = 1, 2\)) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 중 \(y\)좌표가 자연수인 점의 개수는?

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P\), \(Q\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = t^3 - 5 t^2 + 10 t\), \(x_2 = \dfrac{5}{2} t^2 - 2 t - 10\)이다. 두 점 \(P\), \(Q\) 사이의 거리가 최소가 되는 순간 점 \(P\)의 가속도는?

첫째항이 1인 등차수열 \({a_n}\)이 있다. 수열 \({b_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_{n+1} = \begin{cases} b_n + 1 \text{(} n \text{이 3의 배수가 아닌 경우)} \\ b_n + a_{\dfrac{n}{3}} \text{(} n \text{이 3의 배수인 경우)} \end{cases}\)를 만족시킨다. \(b_9 - b_3 = 27\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - 4 x + 5\)와 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x + a) + b \text{(} x < 0 \text{)} \\ f(x) \text{(} x \geq 0 \text{)} \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속이다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수를 \(h(t)\)라 하자. \(|\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k+} h(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow k-} h(t)| = 2\)를 만족시키는 서로 다른 모든 실수 \(k\)의 값이 1, 4, 5일 때, \(g(-4)\)의 값은?

그림과 같이 반지름의 길이가 \(3 \sqrt{2}\)인 원 \(O\)의 외부에 있는 점 \(A\)에서 원 \(O\)에 그은 두 접선을 각각 \(l\), \(m\)이라 하고, 두 직선 \(l\), \(m\)이 원 \(O\)와 만나는 점을 각각 \(B\), \(C\)라 하자. 점 \(B\)를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선이 원 \(O\)와 만나는 두 점 중에서 \(B\)가 아닌 점을 \(P\), 직선 \(A P\)가 원 \(O\)와 만나는 두 점 중에서 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하면 \(\overline{A B} = 12\)일 때, \(\sin(\angle B P Q) : \sin(\angle Q P C) = 3 : 1\)이다. 삼각형 \(B Q C\)의 넓이는?

함수 \(f(x) = x^2 + a x + b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} |f(x)| - x^2 \text{(} x \leq 0 \text{)} \\ |f(x)|^2 + x^3 \text{(} x > 0 \text{)} \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = b\)에서만 미분가능하지 않다. (나) 방정식 \(g(x) = 0\)은 음의 실근을 갖는다. \(g\left(-\dfrac{1}{2}\right) + g(3)\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

방정식 \(2 \log_3 (x + 1) = \log_3 (x + 7)\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 6 x^2 + 1\)이고 \(f(0) = 2\)일 때, \(f(1)\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (2 a_{k+1} - b_k) = 150\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{19} (a_{k+1} + b_k) = 330\)이다. \(a_1 = 3\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} a_k\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(-x)\)를 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 극솟값 \(-6\)을 가질 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오.

두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = -2^{-x+a} + b\)가 있다. 집합 \(\{x | x \neq 4, x \text{는 실수}\}\)에서 정의된 함수 \(g(x) = f(x) + 2^x + \dfrac{|x - 4|}{x - 4} {f(x) - 2^x}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(g(6)\)의 값을 구하시오. 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = g(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수는 0 또는 2이다.

함수 \(f(x) = -x^2 + k x\) \((k > 0)\)의 그래프 위에 있는 제1사분면 위의 점 \(A(a, f(a))\) \(\left(a > \dfrac{k}{2}\right)\)에서의 접선의 방정식을 \(y = g(x)\)라 하고, 직선 \(y = g(x)\)의 \(x\)절편을 \(b\)라 하자. 점 \(A\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하고, 삼각형 \(A O H\)의 넓이를 \(S\)라 할 때, 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) d x = S\) (나) \(\displaystyle\int_{0}^{a} {f(x) - \dfrac{1}{2} a x} d x = \dfrac{32}{3}\) \(g(-k)\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이고, \(k\)는 상수이다.)

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_6 = 6\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+2} = \begin{cases} a_{n+1} + a_n \text{(} a_n \text{이 홀수인 경우)} \\ \dfrac{1}{2} a_n \text{(} a_n \text{이 짝수인 경우)} \end{cases}\)이다. (나) 네 항 \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\) 중 짝수인 항의 개수는 1이다.

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (-6, 0)\), \(\overrightarrow{b} = (k, 2)\)에 대하여 \(\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b} = (0, 4)\)일 때, \(k\)의 값은?

타원 \(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{8} = 1\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 \(y\)절편은?

좌표평면 위의 세 점 \(O(0, 0)\), \(A(3, 4)\), \(B(-3, 6)\)에 대하여 점 \(P\)가 \((\overrightarrow{O P} - \overrightarrow{O A}) \cdot \overrightarrow{O B} = 0\)을 만족시킬 때, \(|\overrightarrow{O P}|\)의 최솟값은?

쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{4^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)의 한 초점 \(F(c, 0)\) \((c > 0)\)을 지나고 \(y\)축에 평행한 직선이 쌍곡선과 제1사분면에서 만나는 점을 \(P\)라 하자. \(\overline{P F} = 5\)일 때, \(b^2\)의 값은? (단, \(b\)는 양수이다.)

공간에 서로 평행한 두 직선 \(l\), \(m\)을 포함하는 평면 \(\alpha\)가 있다. 평면 \(\alpha\) 위에 있지 않은 점 \(P\)에서 두 직선 \(l\), \(m\)에 내린 수선의 발을 각각 \(A\), \(B\)라 하자. 직선 \(l\) 위의 점 \(C\)에 대하여 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(P\)가 \(\overline{A P} = 3\), \(\overline{B P} = 3 \sqrt{2}\), \(\dfrac{\overline{A P}}{\overline{C A}} = \dfrac{\overline{B P}}{\overline{B A}} = \dfrac{\overline{B A}}{\overline{B C}}\)를 만족시킨다. 점 \(P\)에서 선분 \(B C\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 선분 \(P H\)의 길이는?

양수 \(p\)에 대하여 점 \(F\)를 초점으로 하는 포물선 \(C_1 : y^2 = 4 p x\)가 있다. 포물선 \(C_1\) 위에 있는 제1사분면 위의 점 \(P\)를 초점으로 하고 꼭짓점이 \(x\)축 위에 있는 포물선을 \(C_2\)라 하자. 두 포물선 \(C_1\), \(C_2\)가 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 큰 점을 \(Q\)라 하고, 점 \(Q\)에서 포물선 \(C_2\)의 준선에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. \(\overline{P H} = 4 \sqrt{15}\), \(\overline{Q H} = 5 \sqrt{6}\)일 때, 선분 \(P F\)의 길이는? (단, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 점 \(F\)의 \(x\)좌표보다 크다.)

공간에 점 \(O\)가 중심이고 반지름의 길이가 5인 구 \(S\)가 있다. 구 \(S\) 위의 서로 다른 네 점 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)가 \(\overline{B C} = \overline{C D}\), \(\overline{B D} = 10\), \(\overline{A C} = \sqrt{74}\), \(\overline{A B} < \overline{A D}\)를 만족시킨다. 직선 \(O A\)와 평면 \(B C D\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{3}{5}\)이다. 삼각형 \(A B D\)의 평면 \(B C D\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

좌표평면에 \(\overline{A B} = 6\), \(\overline{A D} = 4\), \(\cos(\angle A B C) = \dfrac{1}{4}\)인 평행사변형 \(A B C D\)가 있다. \(|\overrightarrow{P A} + \overrightarrow{P B} + \overrightarrow{P C} + \overrightarrow{P D}| = \dfrac{1}{2} |\overrightarrow{B D}|\)를 만족시키는 점 \(P\)에 대하여 \(\overrightarrow{A Q} = \overrightarrow{A C} - \overrightarrow{A P}\)를 만족시키는 점을 \(Q\)라 하자. \(\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{D Q}\)의 최댓값을 구하시오.