2023년 9월 고2 학력평가

\(2 \times 16^{\dfrac{1}{2}}\)의 값은?

\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{(x-2)(x^3+1)}{x-2}\)의 값은?

\(4 \cos \dfrac{\pi}{3}\)의 값은?

네 수 \(a\), \(4\), \(b\), \(10\)이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(a+2b\)의 값은?

함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x)\)의 값은?

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan \theta = 2\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 (2 a_k - 1)^2 = 61\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k (a_k - 4) = 11\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k^2\)의 값은?

\(0 \leq x \leq 2 \pi\)일 때, 방정식 \(2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0\)의 모든 해의 합은?

두 양수 \(m\), \(n\)에 대하여 \(\log_2 \left(m^2 + \dfrac{1}{4}\right) = -1\), \(\log_2 m = 5 + 3 \log_2 n\)일 때, \(m+n\)의 값은?

\(\overline{A B} = 6\), \(\overline{B C} = 7\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 삼각형 \(A B C\)의 넓이가 \(15\)일 때, \(\cos(\angle A B C)\)의 값은? (단, \(0 < \angle A B C < \dfrac{\pi}{2}\))

첫째항이 \(3\)이고 공비가 \(1\)보다 큰 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(\dfrac{S_4}{S_2} = \dfrac{6 a_3}{a_5}\)일 때, \(a_7\)의 값은?

세 양수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 함수 \(y = a \tan(b x + c)\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a \times b \times c\)의 값은? (단, \(0 < c < \pi\))

첫째항이 \(2\)인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} 2 a_n - 1 & \quad \text{if } a_n < 8 \\ \dfrac{1}{3} a_n & \quad \text{if } a_n \geq 8 \end{cases}\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{16} a_k\)의 값은?

\(4 \leq n \leq 12\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2 - 15 n + 50\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 하자. \(f(n) = f(n+1)\)을 만족시키는 모든 \(n\)의 값의 합은?

자연수 \(n\)에 대하여 원 \(x^2 + y^2 = n\)이 직선 \(y = \sqrt{3} x\)와 제1사분면에서 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(x_n\)이라 하자. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{80} \dfrac{1}{x_k + x_{k+1}}\)의 값은?

세 양수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(2^a = 3^b = c\), \(a^2 + b^2 = 2 a b (a + b - 1)\)을 만족시킬 때, \(\log_6 c\)의 값은?

모든 항이 양수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_4 + a_6\)의 최솟값은? (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(2 a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\)이다. (나) \(a_3 \times a_{22} = a_7 \times a_8 + 10\)

그림과 같이 두 곡선 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_2 (x - p) + q\)가 점 \((4, 2)\)에서 만난다. 두 곡선 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_2 (x - p) + q\)가 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 직선 \(y = 3\)과 만나는 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. \(\overline{C D} - \overline{B A} = \dfrac{3}{4}\)일 때, \(p + q\)의 값은? (단, \(0 < p < 4\), \(q > 0\))

수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 네 수 \(a_1\), \(a_3\), \(a_5\), \(a_7\)은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. (나) \(8\) 이하의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \times a_{9-n} = 75\)이다. \(a_1 + a_2 = \dfrac{10}{3}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k = \dfrac{400}{3}\)일 때, \(a_3 + a_8\)의 값은?

이차함수 \(f(x) = (x - k)^2\) \((k > 0)\)이 있다. 양수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(x) & \quad \text{if } x \leq 3 \\ k f(x - a) & \quad \text{if } x > 3 \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3} g(x)\)가 존재한다. (나) 함수 \(y = g(x)\)의 그래프는 \(x\)축과 오직 한 점에서만 만난다. ㄱ. \(f(1) = 1\)이면 \(g(2) = 0\)이다. ㄴ. \(g(k + a) < g(3)\) ㄷ. \((k - 1)(k - 2) \geq 0\)

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(n\)이 \(3\)의 배수가 아닌 경우 \(a_{n+1} = (-1)^n \times a_n\)이다. (나) \(n\)이 \(3\)의 배수인 경우 \(a_{n+3} = -a_n - n\)이다. \(a_{20} + a_{21} = 0\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{18} a_k\)의 값은?

\(\log_2 8 + \log_2 \dfrac{1}{2}\)의 값을 구하시오.

호의 길이가 \(2 \pi\)이고 넓이가 \(6 \pi\)인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.

집합 \(\{x | 1 \leq x \leq 25\}\)에서 정의된 함수 \(y = 6 \log_3 (x + 2)\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m\)의 값을 구하시오.

방정식 \(9^x - 10 \times 3^{x+1} + 81 = 0\)의 서로 다른 두 실근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하시오.

두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{f(x)}{g(x) - x^2} = 1\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{g(x) - f(x)}{x - 3} = 8\)을 만족시킬 때, \(g(5) - f(5)\)의 값을 구하시오.

\(n \geq 4\)인 자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(\{x | 0 \leq x \leq 4\}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{n}{2} \cos \pi x + 1\)이 있다. 방정식 \(|f(x)| = 3\)의 서로 다른 모든 실근의 합을 \(g(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=4}^{10} g(n)\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{A B} = 2\), \(\cos(\angle B A C) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(A C\) 위의 한 점 \(D\)에 대하여 직선 \(B D\)가 삼각형 \(A B C\)의 외접원과 만나는 점 중 \(B\)가 아닌 점을 \(E\)라 하자. \(\overline{D E} = 5\), \(\overline{C D} + \overline{C E} = 5 \sqrt{3}\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 외접원의 넓이는 \(\dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} a_n\)의 최댓값을 구하시오. (가) 모든 자연수 \(k\)에 대하여 \(a_k\)는 \(x\)에 대한 방정식 \(x^2 + 3 x + (8 - k)(k - 5) = 0\)의 근이다. (나) \(a_n \times a_{n+1} \leq 0\)을 만족시키는 \(10\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수는 \(2\)이다.

두 양수 \(a\), \(b\) \((a < b)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} |-a x^2 + b| & \quad \text{if } x \leq 0 \\ x^2 - 2 a x + b^2 & \quad \text{if } x > 0 \end{cases}\)이다. 양의 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = t\)가 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 \(g(t)\)라 하자. 함수 \(g(t)\)는 최솟값 \(2\)를 갖고, 두 상수 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(|\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \alpha^-} g(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \alpha^+} g(t)| = 2\) (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \beta^-} g(t) - \operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow \beta^+} g(t) + 1 = g(\beta)\) (다) \(g(\alpha) \neq g(\beta)\) \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \alpha\), \(\alpha + 24 \beta = 30\)일 때, \(f(-2) + f(1) = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)