2022년 6월 고1 학력평가

\(1 + 2i + i(1-i)\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\)이다.)

두 다항식 \(A = 4x^2 + 2x - 1\), \(B = x^2 + x - 3\)에 대하여 \(A - 2B\)를 간단히 하면?

다항식 \(x^3 + x^2 + x + 1\)을 \(2x - 1\)로 나눈 나머지는?

\(x\)에 대한 이차부등식 \(x^2 + a x + b < 0\)의 해가 \(-4 < x < 3\)일 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a - b\)의 값은?

부등식 \(|x - 2| < 5\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는?

\(101^3 - 3 \times 101^2 + 3 \times 101 - 1\)의 값은?

어느 가족이 작년까지 한 변의 길이가 \(10 \text{m}\)인 정사각형 모양의 밭을 가꾸었다. 올해는 그림과 같이 가로의 길이를 \(x \text{m}\) 만큼, 세로의 길이를 \((x - 10) \text{m}\) 만큼 늘여서 새로운 직사각형 모양의 밭을 가꾸었다. 올해 늘어난 ㄱ 모양의 밭의 넓이가 \(500 \text{m}^2\)일 때, \(x\)의 값은? (단, \(x > 10\))

다항식 \(Q(x)\)에 대하여 등식 \(x^3 - 5x^2 + a x + 1 = (x - 1) Q(x) - 1\)이 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(Q(a)\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

\(x = 2 + i\), \(y = 2 - i\)일 때, \(x^4 + x^2 y^2 + y^4\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\)이다.)

이차함수 \(y = x^2 + 2(a - 1) x + 2a + 13\)의 그래프가 \(x\)축과 만나지 않도록 하는 모든 정수 \(a\)의 값의 합은?

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + k(2p - 3) x - (p^2 - 2) k + q + 2 = 0\)이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 항상 \(1\)을 근으로 가질 때, 두 상수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(p + q\)의 값은?

연립방정식 \(\begin{cases} x + y + x y = 8 \\ 2x + 2y - x y = 4 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값은?

삼차방정식 \(x^3 + 2x^2 - 3x - 10 = 0\)의 서로 다른 두 허근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^3 + \beta^3\)의 값은?

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2k x - k + 20 = 0\)이 서로 다른 두 실근 \(\alpha\), \(\beta\)를 가질 때, \(\alpha \beta > 0\)을 만족시키는 모든 자연수 \(k\)의 개수는?

이차다항식 \(P(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(P(-1)\)의 값은? (가) 부등식 \(P(x) \geq -2x - 3\)의 해는 \(0 \leq x \leq 1\)이다. (나) 방정식 \(P(x) = -3x - 2\)는 중근을 가진다.

그림과 같이 한 변의 길이가 \(2\)인 정삼각형 \(A B C\)에 대하여 변 \(B C\)의 중점을 \(P\)라 하고, 선분 \(A P\) 위의 점 \(Q\)에 대하여 선분 \(P Q\)의 길이를 \(x\)라 하자. \(\overline{A Q}^2 + \overline{B Q}^2 + \overline{C Q}^2\)은 \(x = a\)에서 최솟값 \(m\)을 가진다. \(\dfrac{m}{a}\)의 값은? (단, \(0 < x < \sqrt{3}\)이고, \(a\)는 실수이다.)

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 + x^2 + a x + b\)가 \((x - 1)^2\)으로 나누어떨어질 때의 몫을 \(Q(x)\)라 하자. 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(Q(a b)\)의 값은?

그림과 같이 빗변의 길이가 \(c\)이고 둘레의 길이가 \(10\)인 직각삼각형 \(A B C\)가 있다. 다음은 직각삼각형 \(A B C\)의 빗변의 길이 \(c\)의 범위를 구하는 과정이다. \(\overline{B C} = a\), \(\overline{C A} = b\)라 하면 삼각형 \(A B C\)의 둘레의 길이가 \(10\)이고 \(\overline{A B} = c\)이므로 \(a + b = \) (가) ··· ㉠ 이다. 삼각형 \(A B C\)가 직각삼각형이므로 \(a^2 + b^2 = c^2\)에서 \((a + b)^2 - 2 a b = c^2\) ··· ㉡ 이다. ㉠을 ㉡에 대입하면 \(a b = \) (나) 이다. \(a\), \(b\)를 두 실근으로 가지고 이차항의 계수가 \(1\)인 \(x\)에 대한 이차방정식은 \(x^2 - \) (가) \(x + \) (나) \(= 0\) ··· ㉢ 이고 ㉢의 판별식 \(D \geq 0\)이다. 빗변의 길이 \(c\)는 양수이므로 부등식 \(D \geq 0\)의 해를 구하면 \(c \geq \) (다) 이다. ㉢의 두 실근 \(a\), \(b\)는 모두 양수이므로 두 근의 합 (가)와 곱 (나)는 모두 양수이다. 따라서 빗변의 길이 \(c\)의 범위는 (다) \(\leq c < 5\)이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(c)\), \(g(c)\)라 하고 (다)에 알맞은 수를 \(k\)라 할 때, \(\dfrac{k}{25} \times f\left(\dfrac{9}{2}\right) \times g\left(\dfrac{9}{2}\right)\)의 값은?

이차함수 \(y = x^2 - 3x + 1\)의 그래프와 직선 \(y = x + 2\)로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 정수인 점의 개수는?

모든 실수 \(x\)에 대하여 다항식 \(P(x)\)가 \({P(x) + 2}^2 = (x - a)(x - 2a) + 4\)를 만족시킬 때, 모든 \(P(1)\)의 값의 합은? (단, \(a\)는 실수이다.)

\(1 \leq x \leq 2\)에서 이차함수 \(f(x) = (x - a)^2 + b\)의 최솟값이 \(5\)일 때, 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 옳은 것만을 <보기> 에서 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(a = \dfrac{3}{2}\)일 때, \(b = 5\)이다. ㄴ. \(a \leq 1\)일 때, \(b = -a^2 + 2a + 4\)이다. ㄷ. \(a + b\)의 최댓값은 \(\dfrac{29}{4}\)이다.

다항식 \((x + 2y)^3\)을 전개한 식에서 \(x y^2\)의 계수를 구하시오.

\((3 + a i)(2 - i) = 13 + b i\)를 만족시키는 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(i = \sqrt{-1}\)이다.)

연립방정식 \(\begin{cases} x - y = -5 \\ 4x^2 + y^2 = 20 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 3x + k = 0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\dfrac{1}{\alpha^2 - \alpha + k} + \dfrac{1}{\beta^2 - \beta + k} = \dfrac{1}{4}\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 값을 구하시오.

\(x\)에 대한 사차방정식 \(x^4 - (2a - 9) x^2 + 4 = 0\)이 서로 다른 네 실근 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) \((\alpha < \beta < \gamma < \delta)\)를 가진다. \(\alpha^2 + \beta^2 = 5\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

\(100\) 이하의 자연수 \(n\)에 대하여 \((1 - i)^{2n} = 2^n i\)를 만족시키는 모든 \(n\)의 개수를 구하시오. (단, \(i = \sqrt{-1}\)이다.)

\(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - (a^2 - 3) x - 3 a^2 < 0 \\ x^2 + (a - 9) x - 9a > 0 \end{cases}\)을 만족시키는 정수 \(x\)가 존재하지 않기 위한 실수 \(a\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자. \(M^2\)의 값을 구하시오. (단, \(a > 2\))

삼차다항식 \(P(x)\)와 일차다항식 \(Q(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(P(x) Q(x)\)는 \((x^2 - 3x + 3)(x - 1)\)로 나누어떨어진다. (나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^3 - 10x + 13 - P(x) = {Q(x)}^2\)이다. \(Q(0) < 0\)일 때, \(P(2) + Q(8)\)의 값을 구하시오.

두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \geq f(0)\), \(g(x) \leq g(0)\)이다. (나) \(f(0)\)은 정수이고, \(g(0) - f(0) = 4\)이다. \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) + p = k\)의 서로 다른 실근의 개수와 \(x\)에 대한 방정식 \(g(x) - p = k\)의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 \(k\)의 개수가 \(1\)일 때, 실수 \(p\)의 최솟값을 \(m\), 최댓값을 \(M\)이라 하자. \(m + 10 M\)의 값을 구하시오.