2024년 10월 고2 학력평가

\((\sqrt[3]{4})^2 \times 2^{\dfrac{2}{3}}\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x^2-4} = 3\)을 만족시킬 때, \(f'(2)\)의 값은?

함수 \(y = \cos \dfrac{\pi}{4} x\)의 주기는?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow -1^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x)\)가 \(x > \dfrac{1}{2}\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{3}{2x+1} < f(x) < \dfrac{3}{2x-1}\)을 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} x f(x)\)의 값은?

첫째항이 양수이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_2 \times a_4 = 72\)일 때, \(a_3\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} x - a \text{ (}x \leq 2\text{)} \\ x^2 + b x + a \text{ (}x > 2\text{)} \end{cases}\)가 \(x=2\)에서 미분가능할 때, \(f(2)\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_n = \dfrac{1}{n+1}\)일 때, \(a_1 + a_5\)의 값은?

\(0 < a < 5\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \log_2(x+a) + 1\)은 닫힌구간 \([a, 5]\)에서 최솟값 \(3\)을 갖는다. \(f(a+4)\)의 값은?

공비가 \(0\)이 아닌 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 + 2a_4 = 0\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k = 33\)일 때, \(a_1\)의 값은?

\(\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi - \theta\right) \times \tan \theta = \dfrac{8}{3}\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{2n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} (k - a_k)\)를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값은?

좌표평면에서 직선 \(y=x+1\) 위의 \(x\)좌표가 양수인 점 \(P\)에 대하여 동경 \(O P\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta (0 < \theta < 2\pi)\)라 하자. 각의 크기 \(\theta\)를 나타내는 동경과 각의 크기 \(7 \theta\)를 나타내는 동경이 일치할 때, 점 \(P\)의 \(x\)좌표는? (단, \(O\)는 원점이고, \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(0)\)의 값은? (가) \(x \geq -\dfrac{1}{2}\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((\sqrt{2x+1}-1) \times f(x) = x^2 + a x + b\)이다. (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.) (나) \(f(4)=2\)

자연수 \(n (n \geq 2)\)에 대하여 \(\sin \dfrac{n}{5}\pi\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^{10} f(n)\)의 값은?

\(1\)보다 크고 \(100\)보다 작은 두 자연수 \(m, n\)이 \(\log_n 4 \times \left(\dfrac{4}{\log_m 2} + \log_2 n\right) = 8\)을 만족시킬 때, \(m+n\)의 최댓값은?

\(a > \pi\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \cos^2 x - \sin x - 1\)이 구간 \((\pi, a]\)에서 최솟값을 갖도록 하는 \(a\)의 최솟값을 \(p\)라 하자. 구간 \((\pi, p]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값을 \(M\)이라 할 때, \(p \times M\)의 값은?

그림과 같이 \(1\)보다 큰 두 실수 \(a, k\)에 대하여 곡선 \(y = a^x + k\)와 직선 \(y = 3x + 2\)가 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만난다. 점 \(B\)를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선이 곡선 \(y = \log_a(x - k)\)와 만나는 점을 \(C\), 직선 \(y = 3x + 2\)가 \(y\)축과 만나는 점을 \(D\)라 하자. \(\overline{A B} = \overline{A D}\)이고 \(\overline{B C} = \overline{C D}\)일 때, \(a \times k\)의 값은? (단, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(A\)의 \(x\)좌표보다 크다.)

그림과 같이 \(\overline{A B}=2\), \(\overline{B C}=4\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 선분 \(A C\) 위의 점 \(D\)에 대하여 세 점 \(A, B, D\)를 지나는 원을 \(C\)라 하고, 원 \(C\)가 선분 \(B C\)와 만나는 점 중 \(B\)가 아닌 점을 \(E\)라 하자. 점 \(B\)를 포함하지 않는 두 호 \(A D, D E\)의 길이가 같고 \(\overline{B D} = \sqrt{6}\)일 때, 원 \(C\)의 넓이는? (단, \(\overline{A C} < \overline{B C}\)이고, 점 \(D\)는 점 \(A\)도 아니고 점 \(C\)도 아니다.)

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} (x-1)(x-a) \text{ (}x < 1\text{)} \\ 0 \text{ (}1 \leq x < 2\text{)} \\ 1 \text{ (}x \geq 2\text{)} \end{cases}\)라 하자. 양의 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(t\)까지 변할 때의 평균변화율을 \(g(t)\)라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(a=1\)일 때, \(g(1) = -1\)이다. ㄴ. 함수 \(g(t)\)의 최댓값이 \(1\)일 때, \(g(2) = \dfrac{1}{2}\)이다. ㄷ. \(g(k) = g(k+1) = g(k+2)\)를 만족시키는 \(0 < k < 2\)인 실수 \(k\)가 존재할 때, 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = -\dfrac{3}{2}\)은 서로 다른 두 점에서 만난다.

첫째항이 \(2\) 이상인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_n \text{ (}a_n \geq 1\text{)} \\ \dfrac{1}{2}(a_n + a_1) \text{ (}a_n < 1\text{)} \end{cases}\)을 만족시킬 때, \(a_5 + 2a_6 = 2\)가 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?

방정식 \((\sqrt{3})^{x-2} = 27\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

반지름의 길이가 \(8\)이고 넓이가 \(28\pi\)인 부채꼴의 호의 길이가 \(a \pi\)일 때, \(a\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{x} = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

\(\log_{|a|}(-a^2-4a+21)\)이 정의되도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하시오.

첫째항이 \(1\)이고 모든 항이 양수인 수열 \({a_n}\)이 \(n \geq 2\)인 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{a_k} - \sqrt{a_{k+1}}) = \dfrac{n-1}{n}\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k}\)의 값을 구하시오.

실수 \(t (t > 1)\)에 대하여 곡선 \(y = \dfrac{2t}{x}\)와 직선 \(y = -\dfrac{1}{t}x + 3\)이 만나는 두 점을 \(A, B\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 1^+} \dfrac{\overline{O B} - \overline{O A}}{t-1} = k\)라 할 때, \(30 \times k^2\)의 값을 구하시오. (단, \(O\)는 원점이고, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 점 \(A\)의 \(x\)좌표보다 크다.)

공차가 자연수인 등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 어떤 자연수 \(k\)에 대하여 \(a_k + a_{k+1} + a_{k+2} = 21\), \(S_{k+4} = 11\)이 성립할 때, \(a_{k+6}\)의 값을 구하시오.

\(0 \leq x \leq 2\pi\)일 때, \(x\)에 대한 방정식 \(\left(\sin x - \dfrac{1}{4}k\right)\left(\sin x + \dfrac{1}{4}k^2 - \dfrac{3}{4}k\right) = 0\)의 서로 다른 해의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값의 곱을 구하시오.

두 양수 \(a, b\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 집합 \(\{x | x \neq -a, x\text{는 실수}\}\)에서 정의된 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} \dfrac{b x}{x+a} \text{ (}x < -a, -a < x < 1\text{)} \\ f(x) \text{ (}x \geq 1\text{)} \end{cases}\)이라 할 때, 함수 \(g(x)\)는 \(x=1\)에서 연속이다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = |g(x)|\)의 그래프와 직선 \(y = t\)가 만나는 점의 개수를 \(h(t)\)라 할 때, 함수 \(h(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 임의의 두 양수 \(t_1, t_2\)에 대하여 \(t_1 < t_2\)이면 \(h(t_1) \geq h(t_2)\)이다. (나) 함수 \(h(t)\)는 \(t=0, t=\alpha, t=\beta (0 < \alpha < \beta)\)에서만 불연속이며 \(h(0)=\alpha, h(\alpha)=\beta-1\)이다. \(f(a-b)\)의 값을 구하시오.