2025년 3월 고2 학력평가

두 다항식 \(A = x^2 + 2 x y - 2 y^2\), \(B = x^2 + 3 x y + 2 y^2\)에 대하여 \(A+B\)를 간단히 하면?

\((1+i)+(3-4i)\)의 값은? (단, \(i=\sqrt{-1}\))

\({}_5 C_2\)의 값은?

수직선 위의 두 점 \(A(-3)\), \(B(5)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(1:3\)으로 내분하는 점의 좌표는?

일차함수 \(f(x) = 2 x + k\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)에 대하여 \(f^{-1}(7) = 2\)일 때, \(f(k)\)의 값은? (단, \(k\)는 상수이다.)

이차함수 \(y = x^2 - 2 a x + a + 1\)의 그래프가 직선 \(y = -2 x\)에 접할 때, 양수 \(a\)의 값은?

\(a-b=2\), \(a^3-b^3=32\)일 때, \(a b\)의 값은?

연립부등식 \(\begin{cases} x^2 - x - 6 \geq 0 \\ x^2 - 25 < 0 \end{cases}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합은?

직선 \(y=a x+4\)를 \(x\)축의 방향으로 \(4\)만큼 평행이동한 후, \(y\)축에 대하여 대칭이동한 직선이 원 \((x+3)^2 + (y+5)^2 = 1\)의 넓이를 이등분할 때, 상수 \(a\)의 값은?

그림과 같이 양수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = \sqrt{2 x}\)의 그래프 위의 두 점 \(A(k, f(k))\), \(B(4 k, f(4 k))\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 사각형 \(A C D B\)의 넓이가 \(18\)일 때, \(\overline{A B}\)의 값은?

실수가 아닌 복소수 \(z\)에 대하여 \(z^2+4 \overline{z}=0\)일 때, \(z \overline{z}\)의 값은? (단, \(\overline{z}\)는 \(z\)의 켤레복소수이다.)

좌표평면 위에 원 \(C: x^2+y^2-4 y=0\)이 있다. 두 점 \(A(2, -2)\), \(B(5, 1)\)과 원 \(C\) 위의 점 \(P\)에 대하여 삼각형 \(P A B\)의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 \(P\)의 \(x\)좌표는?

연립방정식 \(\begin{cases} 2 x^2 - 5 x y + 2 y^2 = 0 \\ 4 x^2 - y^2 = 45 \end{cases}\)의 해를 \(x=\alpha\), \(y=\beta\)라 할 때, \(\alpha+\beta\)의 값은? (단, \(\alpha>0\), \(\beta>0\))

\(1 \leq x \leq 3\)에서 함수 \(f(x) = \dfrac{4 x - k}{x - 4}\)의 최댓값이 \(2\)가 되도록 하는 상수 \(k\)의 값은?

실수 [x]에 대한 두 조건 [p], [q] (≤ 포함)가 있다. [p]가 ∼[q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 [a]의 최댓값을 [M], 최솟값을 [m]이라 할 때, [M+m]의 값은? [OCR 손상: 변수·선택지 일부 누락]

어느 청소년 센터에서는 서로 다른 [?]개의 체육 동아리와 서로 다른 [?]개의 음악 동아리를 운영한다. 두 청소년 A와 B가 이 [?]개의 동아리 중에서 다음 조건을 만족시키도록 동아리를 선택하는 경우의 수는? (가) A와 B는 각자 [?]개 이상의 체육 동아리와 [?]개 이상의 음악 동아리를 포함한 서로 다른 [?]개의 동아리를 선택한다. (나) A는 선택하고 B는 선택하지 않은 동아리의 개수는 적어도 [?]이다. [OCR 손상: 숫자·선택지 누락]

이차함수 \(f(x) = x^2 - 6 x + 5\)가 있다. 실수 \(k\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) f(x-k)=0\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(k)\)라 하자. \(g(k-7)+g(k+1)=6\)이 되도록 하는 모든 \(k\)의 값의 합은?

어느 숙소에는 그림과 같이 객실 번호가 적힌 \(10\)개의 객실이 있다. 관광객 A, B, C를 포함한 \(5\)명의 관광객이 다음 규칙에 따라 \(10\)개의 객실 중에서 각자 서로 다른 한 객실에 숙박하는 경우의 수는? (가) \(5\)명의 관광객 중 어느 관광객도 객실 번호가 \(102\), \(204\)인 객실에는 숙박하지 않는다. (나) A와 B가 숙박하는 객실 번호의 차는 \(1\) 또는 \(100\)이다. (다) A와 C가 숙박하는 객실 번호의 차는 \(4\)보다 크고 \(100\)이 아니다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 서로 다른 두 삼차다항식 \(f(x)\), \(g(x)\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 서로 다른 두 이차다항식 \(P_1(x)\), \(P_2(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 다항식 \(f(x)+g(x)\)는 세 다항식 \(P_1(x)\), \(P_2(x)\), \(x^2-5 x+6\)으로 각각 나누어떨어진다. (나) 두 다항식 \(P_1(x)\), \(P_2(x)\)는 각각 다항식 \(f(x)-g(x)\)로 나누어떨어진다. \(f(1) = g(1)\)이고 \(f(2) = 1\)일 때, \(g(3)\)의 값은?

전체집합 \(U=\{x | x \text{는 20 이하의 자연수}\}\)의 부분집합 \(A\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 명제 '모든 \(x \in U\)에 대하여 \({x, x^2 + 1} \subseteq.not A\)이다.'는 거짓이다. (나) 자연수 \(x\)에 대한 두 조건 \(p\), \(q\)가 \(p: x\)는 \(\dfrac{1}{2} x \in A\)인 \(20\) 이하의 자연수이다. \(q: x\)는 \(x \in A\)인 \(20\) 이하의 짝수이다. 일 때, \(p\)는 \(q\)이기 위한 필요충분조건이다. \(1 \notin A\)일 때, 집합 \(A\)의 모든 원소의 합의 최솟값은?

두 실수 \(a\), \(b (b>0)\)에 대하여 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + a x + b \text{ } (x \leq 0) \\ -x^2 + a x - b \text{ } (x > 0) \end{cases}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(2)=p+q \sqrt{2}\)이다. \(p-q\)의 값은? (단, \(p\), \(q\)는 유리수이다.) (가) \(x\)에 대한 방정식 \(f(x)=t\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(t\)의 개수는 \(1\)이다. (나) 모든 정수 \(k\)에 대하여 \(f(k) f(k+1) \geq 0\)이다.

두 집합 \(A = {1, 3, 5, 7, 9}\), \(B = {2, 5, 9}\)에 대하여 집합 \(A \cap B\)의 모든 원소의 합을 구하시오.

두 함수 \(f(x) = x+3\), \(g(x) = x^2+1\)에 대하여 \((g \circ f)(9)\)의 값을 구하시오.

두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 이차방정식 \(x^2 + a x + b = 0\)의 한 근이 \(2+3i\)일 때, \(a^2+b^2\)의 값을 구하시오. (단, \(i=\sqrt{-1}\))

무리함수 \(y = \sqrt{2(x-1)} + a\)의 역함수의 그래프가 두 점 \((5, 1)\), \((b, 3)\)을 지날 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

좌표평면 위의 원점 \(O\)와 점 \(A(1, 2)\)에 대하여 선분 \(O A\)를 \(2:1\)로 외분하는 점을 \(P\), 점 \(B(5, 5)\)에 대하여 선분 \(A B\) 위의 한 점을 \(Q\)라 하자. \(\overline{P Q}^2\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M+m\)의 값을 구하시오.

두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(x^3 + a x^2 + b x - 3 a = 0\)은 \(a\)를 포함한 서로 다른 세 정수를 근으로 갖고, \(x\)에 대한 방정식 \(x^3 + b x^2 - 2 a x - 2 a b = 0\)은 정수인 근을 오직 하나만 갖는다. \(a-b\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 직선 \(y=x\) 위의 점 \(A\)를 중심으로 하고 \(x\)축과 만나지 않는 원 \(C\)에 대하여 원점 \(O\)를 지나고 원 \(C\)에 접하는 두 직선 중 기울기가 작은 직선을 \(l: y=m x\)라 하자. 원 \(C\)와 직선 \(y=x\)의 교점 중 \(x\)좌표가 작은 것을 \(P_1\), \(x\)좌표가 큰 것을 \(P_2\)라 하면 \(\overline{O P_1}=2\)이다. 원 \(C\) 위의 점 \(P_1\)에서의 접선과 직선 \(l\)의 교점을 \(Q_1\), 원 \(C\) 위의 점 \(P_2\)에서의 접선과 직선 \(l\)의 교점을 \(Q_2\)라 하면 삼각형 \(A Q_2 P_2\)의 넓이는 삼각형 \(A P_1 Q_1\)의 넓이의 \(4\)배이다. \(m=\dfrac{q}{p}\)일 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, 점 \(A\)는 제1사분면 위의 점이고, \(p\), \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

전체집합 \(U = \{x | x \text{는 15 이하의 자연수}\}\)의 부분집합 \(X\)와 \(U\)의 부분집합 \(P\)에 대하여 다음 조건이 성립한다. (가) \(n(X-P) \times n(X \cup P^C) = 11\) (나) 집합 \(X\)의 모든 원소의 곱이 \(M\)일 때, \(M\)의 양의 약수의 개수는 \(16\)이다. [OCR 일부 손상: 조건 본문 일부 누락 가능]

실수 \(a (a \neq 0)\)과 \(2\)보다 큰 자연수 \(n\)에 대하여 집합 \(\{x | x \neq 2 \text{인 실수}\}\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{a x - a n}{x - 2} - n \text{ } (x < 2 \text{또는} 2 < x < n) \\ -a \sqrt{x - n} - n \text{ } (x \geq n) \end{cases}\)이라 하자. 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(|f(x)|=t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 할 때, 함수 \(g(t)\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 \(n\)의 값의 합을 구하시오. (가) \(g(t)=2\)를 만족시키는 실수 \(t\)의 최솟값은 \(0\), 최댓값은 \(\dfrac{3}{2} n\)이다. (나) \(g(|f(5)|) \times g(n) = 6\)