2026년 3월 고3 학력평가 (미적분)

\(4^{\dfrac{2}{3}} \times 2^{-\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = 2 x^2 + x + 2\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_1 = 2\), \(2 a_2 + a_7 = 30\)일 때, \(a_{10}\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} a x^2 - 2 & \quad (x < 2) \\ 3 x & \quad (x \geq 2) \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x + 1)(2 x^2 - 5 x + 1)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)가 \(\log_3 a^2 = 4\), \(\log_9 a b = \dfrac{5}{2}\)를 만족시킬 때, \(\dfrac{b}{a}\)의 값은?

곡선 \(y = x^2\)과 \(y\)축 및 두 직선 \(y = x - 2\), \(x = 2\)로 둘러싸인 부분의 넓이는?

\(\cos \theta = 4 \sin \theta\)이고 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) < 0\)일 때, \(\cos \theta\)의 값은?

닫힌구간 \([1, 3]\)에서 함수 \(f(x) = 2 x^3 - 3 x^2 - 12 x + a\)가 최댓값 \(M\), 최솟값 \(4\)를 가질 때, \(M\)의 값은?

양수 \(k\)에 대하여 곡선 \(y = \log_2(x - k)\)가 \(x\)축과 만나는 점을 \(A\)라 하자. 직선 \(y = 2\)가 곡선 \(y = \log_2(x - k)\)와 만나는 점을 \(B\), \(y\)축과 만나는 점을 \(C\)라 하자. \(\overline{A B} = \overline{A C}\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 넓이는?

시각 \(t = 0\)일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)가 있다. 시각이 \(t\) \((t \geq 0)\)일 때 점 \(P\)의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 3 t^2 - 24 t + 36\)이다. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 시각 \(t = 1\)일 때 점 \(P\)의 위치는 \(25\)이다. ㄴ. 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향은 두 번 바뀐다. ㄷ. 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 3\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리는 \(37\)이다.

\(a_1 = 3\), \(a_2 = 10\)인 수열 \(\{a_n\}\)과 모든 항이 양수인 등비수열 \(\{b_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_k + 1} = n^2 + n\)을 만족시킨다. 다음은 \(\displaystyle\sum_{n=1}^5 \dfrac{a_n}{n}\)의 값을 구하는 과정이다. \(n = 1\)일 때, \(\dfrac{a_1}{b_1 + 1} = 2\)에서 \(b_1 = \dfrac{1}{2}\)이다. \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{a_n}{b_n + 1} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_k + 1} - \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{b_k + 1}\)이므로 \(\dfrac{a_n}{b_n + 1} = \) (가) \(\times n\)이다. \(n = 1\)일 때도 성립하므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\dfrac{a_n}{n} = \) (가) \(\times (b_n + 1)\)이다. 그러므로 등비수열 \(\{b_n\}\)의 공비는 (나)이다. 따라서 \(\displaystyle\sum_{n=1}^5 \dfrac{a_n}{n} = \) (다)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p\), \(q\), \(r\)이라 할 때, \(p + q + r\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 4 x^2 + 6 x - 8\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(P(1, -5)\)에서의 접선이 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(Q\)에서의 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

두 상수 \(a\) \((a \neq 0)\), \(b\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 2 \pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} 3 \sin x & \quad 0 \leq x < \pi \\ a \cos x + b & \quad \pi \leq x \leq 2 \pi \end{cases}\)가 있다. \(0 \leq t \leq 2 \pi\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = f(t)\)를 만족시키는 모든 \(x\)의 값의 합이 \(\dfrac{7}{4} \pi\)가 되도록 하는 서로 다른 모든 실수 \(t\)의 개수가 \(4\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(g(x) = \begin{cases} -x f(x) - a x^2 & \quad x \leq 0 \\ \dfrac{1}{4} f(x) - b x^2 & \quad x > 0 \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(a + b\)의 값은? (가) 집합 \(\{x | g(x) = -27\}\)의 원소의 개수는 \(2\)이다. (나) \(\{x | g(x) = -27\} \subset \{x | g'(x) = 0\}\)

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1 = 3\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n^2 - 3 n\)을 만족시킨다. \(a_3\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 4 x^3 - 3 x^2 + 2\)의 한 부정적분 \(F(x)\)에 대하여 \(F(1) = 5\)일 때, \(F(2)\)의 값을 구하시오.

삼각형 \(A B C\)에서 \(\overline{A B} = 6\), \(\overline{A C} = 8\)이고 \(\cos A = -\dfrac{1}{4}\)일 때, \(\overline{B C}^2\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 - 6 x^2 + a x + b\)는 \(x = 1\)에서 극대이다. 함수 \(f(x)\)의 극솟값이 \(5\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음을 만족시킨다. \(a_n = n\) (\(n\)이 \(5\)의 배수인 경우), \(a_n = 2\) (\(n\)이 \(5\)의 배수가 아닌 경우) \(20 \leq \displaystyle\sum_{k=1}^m a_k < 30\)을 만족시키는 모든 자연수 \(m\)의 값의 합을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)이고 \(f(0) = 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (f(t) - |f(t)|) d t\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오. (가) \(x \geq k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x) = 0\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 최솟값이 \(2\)이다. (나) \(g(2) = -8\)

자연수 \(k\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = 2^x\), \(g(x) = 2 \times 4^x + \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(x = t\)가 두 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)와 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하자. 두 점 \(A\), \(B\) 사이의 거리가 \(\dfrac{1}{5}\)이 되도록 하는 실수 \(t\)의 개수가 \(2\)이고 이 두 실수의 합을 \(p\)라 할 때, \(k \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^p\)의 값을 구하시오.

\(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n^2 (12 n + 1)}{4 n^3 - 1}\)의 값은?

두 수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (3 n + 2) a_n = 6\), \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{b_n}{n} = 2\)일 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} a_n b_n\)의 값은?

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \sqrt{n + 2}\)를 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} a_n\)의 값은?

자연수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{5 a^{2 n} + (2 a)^{n+1}}{a^{2 n} + (2 a)^n} = a + 1\)을 만족시키는 모든 자연수 \(a\)의 값의 합은?

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 \(a_n\)인 직선이 점 \((2 n - 1, 0)\)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(n\)인 원과 서로 다른 두 점에서 만나고 점 \((2 n + 1, 0)\)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(n + 1\)인 원과 만나지 않는다. \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} n (3 - 1/(a_n^2))\)의 값은?

함수 \(f(x) = \dfrac{1}{2} x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + 5\)가 있다. 두 자연수 \(p\), \(q\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2} p x^2 + \dfrac{1}{2} q x + 5 & \quad x < 0 \\ 5 & \quad x \geq 0 \end{cases}\)이라 하자. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(h(x) = \operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{(f(x))^{2 n + 1} + 5^{2 n} \times g(x)}{(f(x))^{2 n} + 5^{2 n}}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 \(k\)의 개수가 \(7\)이다. 자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(y = (k - 1/2^n) x + 5\)가 함수 \(y = h(x)\)의 그래프와 만나는 점의 개수를 \(a_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = 4\)이다. \(p + q + h(4)\)의 값은?

그림과 같이 자연수 \(n\)에 대하여 \(\overline{A C} = \overline{B C} = 4 n + 2\)인 사각형 \(A B C D\)가 있다. 선분 \(A B\)의 중점을 \(P\), 선분 \(B C\)의 중점을 \(Q\)라 하고, 선분 \(D Q\)가 선분 \(A C\)와 만나는 점을 \(R\)이라 하자. \(\angle C A B = \angle P Q R\), \(\overline{C P} = \sqrt{15 n^2 + 16 n + 4}\), \(\overline{D R} : \overline{D C} = 1 : 2\) 일 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\overline{D R} - \dfrac{4}{3} n\right) = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 \(k\)의 값의 합을 구하시오. (단, \(k\)는 \(20\) 이하의 자연수이다.) 두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} |a| (a + b)^n\)의 값과 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} |\dfrac{2 a + 2 b - 20}{k}|^n\)의 값이 모두 존재하며 \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} |a| (a + b)^n = \operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} |\dfrac{2 a + 2 b - 20}{k}|^n\)이 되도록 하는 정수 \(a\), \(b\)의 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수는 \(19\)이다.