2022년 7월 고3 학력평가 (미적분)

\(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n^4 + 5n^2 + 5} - n^2)\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{1}^{e} \left(\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right) \ln x d x - \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{2}{x^2} \ln x d x\)의 값은?

매개변수 \(t\) \((t > 0)\)으로 나타내어진 곡선 \(x = t^2 \ln t + 3t\), \(y = 6t e^{t-1}\)에서 \(t = 1\)일 때, \(\dfrac{d y}{d x}\)의 값은?

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)에 대하여 \(f(x)\)가 함수 \(g(x)\)의 역함수이고, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{f(x) - 2}{x - 2} = \dfrac{1}{3}\)이다. 함수 \(h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}\)라 할 때, \(h'(2)\)의 값은?

그림과 같이 \(\overline{A_1 B_1} = 1\), \(\overline{B_1 C_1} = 2\)인 직사각형 \(A_1 B_1 C_1 D_1\)이 있다. 선분 \(A_1 D_1\)의 중점 \(E_1\)에 대하여 두 선분 \(B_1 D_1\), \(C_1 E_1\)이 만나는 점을 \(F_1\)이라 하자. \(\overline{G_1 E_1} = \overline{G_1 F_1}\)이 되도록 선분 \(B_1 D_1\) 위에 점 \(G_1\)을 잡아 삼각형 \(G_1 F_1 E_1\)을 그린다. 두 삼각형 \(C_1 D_1 F_1\), \(G_1 F_1 E_1\)로 만들어진 ▶ 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자. 그림 \(R_1\)에서 선분 \(B_1 F_1\) 위의 점 \(A_2\), 선분 \(B_1 C_1\) 위의 두 점 \(B_2\), \(C_2\), 선분 \(C_1 F_1\) 위의 점 \(D_2\)를 꼭짓점으로 하고 \(\overline{A_2 B_2} : \overline{B_2 C_2} = 1 : 2\)인 직사각형 \(A_2 B_2 C_2 D_2\)를 그린다. 직사각형 \(A_2 B_2 C_2 D_2\)에 그림 \(R_1\)을 얻은 것과 같은 방법으로 ▶ 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} S_n\)의 값은?

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(-x) = f(x)\) (나) \(f(x + 2) = f(x)\) \(\displaystyle\int_{-1}^5 f(x)(x + \cos 2 \pi x) d x = \dfrac{47}{2}\), \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x = 2\)일 때, \(\displaystyle\int_{0}^{1} f'(x) \sin 2 \pi x d x\)의 값은?

그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 반원의 호 \(A B\) 위에 점 \(P\)가 있다. 호 \(A P\) 위에 점 \(Q\)를 호 \(P B\)와 호 \(P Q\)의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 \(A P\), \(B Q\)가 만나는 점을 \(R\)라 하고 점 \(B\)를 지나고 선분 \(A B\)에 수직인 직선이 직선 \(A P\)와 만나는 점을 \(S\)라 하자. \(\angle B A P = \theta\)라 할 때, 두 선분 \(P R\), \(Q R\)와 호 \(P Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(f(\theta)\), 두 선분 \(P S\), \(B S\)와 호 \(B P\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(g(\theta)\)라 하자. \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{f(\theta) + g(\theta)}{\theta^3}\)의 값을 구하시오. (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}\))

최고차항의 계수가 \(3\)보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 \(g(x) = e^x f(x)\)이다. 양수 \(k\)에 대하여 집합 \(\{x | g(x) = k, x \in RR\}\)의 모든 원소의 합을 \(h(k)\)라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(h(k)\)는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(h(k)\)가 \(k = t\)에서 불연속인 \(t\)의 개수는 \(1\)이다. (나) \(\operatorname*{lim}\limits_{k \rightarrow 3e+} h(k) - \operatorname*{lim}\limits_{k \rightarrow 3e-} h(k) = 2\) \(g(-6) \times g(2)\)의 값을 구하시오. (단, \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -\infty} x^2 e^x = 0\))