2025학년도 수능 (수학 영역) (확률과 통계)

\(\sqrt[3]{5} \times 25^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 - 8x + 7\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h}\)의 값은?

첫째항과 공비가 모두 양수 \(k\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)이 \( \dfrac{a_4}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_1} = 30 \) 을 만족시킬 때, \(k\)의 값은?

함수 \( f(x) = \begin{cases} 5x + a & \quad \text{if } x < -2 \\ x^2 - a & \quad \text{if } x \geq -2 \end{cases} \) 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 + 1)(3x^2 - x)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\dfrac{1}{5}\)일 때, \(\dfrac{\sin \theta}{1 - \cos^2 \theta}\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \( \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t = 3x^3 + 2x \) 를 만족시킬 때, \(f(1)\)의 값은?

두 실수 \(a = 2 \log \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \log_2 20\), \(b = \log 2\)에 대하여 \(a \times b\)의 값은?

함수 \(f(x) = 3x^2 - 16x - 20\)에 대하여 \( \displaystyle\int_{-2}^a f(x) d x = \displaystyle\int_{-2}^0 f(x) d x \) 일 때, 양수 \(a\)의 값은?

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = a \cos b x + 3\)이 \(x = \dfrac{\pi}{3}\)에서 최댓값 \(13\)을 갖도록 하는 두 자연수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(a + b\)의 최솟값은?

시각 \(t = 0\)일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 위치 \(x\)가 \( x = t^3 - \dfrac{3}{2} t^2 - 6t \) 이다. 출발한 후 점 \(P\)의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 \(P\)의 가속도는?

\(a_1 = 2\)인 수열 \(\{a_n\}\)과 \(b_1 = 2\)인 등차수열 \(\{b_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{b_{k+1}} = \dfrac{1}{2} n^2 \) 을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^5 a_k\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \( f(1) = f(2) = 0, \quad f'(0) = -7 \) 을 만족시킨다. 원점 \(O\)와 점 \(P(3, f(3))\)에 대하여 선분 \(O P\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y\)축 및 선분 \(O Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 \(P Q\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 할 때, \(B - A\)의 값은?

그림과 같이 삼각형 \(A B C\)에서 선분 \(A B\) 위에 \(\overline{A D} : \overline{D B} = 3 : 2\)인 점 \(D\)를 잡고, 점 \(A\)를 중심으로 하고 점 \(D\)를 지나는 원을 \(O\), 원 \(O\)와 선분 \(A C\)가 만나는 점을 \(E\)라 하자. \(\sin A : \sin C = 8 : 5\)이고, 삼각형 \(A D E\)와 삼각형 \(A B C\)의 넓이의 비가 \(9 : 35\)이다. 삼각형 \(A B C\)의 외접원의 반지름의 길이가 \(7\)일 때, 원 \(O\) 위의 점 \(P\)에 대하여 삼각형 \(P B C\)의 넓이의 최댓값은? (단, \(\overline{A B} < \overline{A C}\))

상수 \(a\) \((a \neq 3 \sqrt{5})\)와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \( g(x) = \begin{cases} x^3 + a x^2 + 15 x + 7 & \quad \text{if } x \leq 0 \\ f(x) & \quad \text{if } x > 0 \end{cases} \) 이 다음 조건을 만족시킨다. <보기> (가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) \(x\)에 대한 방정식 \(g'(x) \times g'(x-4) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(4\)이다. \(g(-2) + g(2)\)의 값은?

방정식 \( \log_2(x - 3) = \log_4(3x - 5) \) 를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 9x^2 + 4x\)이고 \(f(1) = 6\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( a_n + a_{n+4} = 12 \) 를 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{16} a_n\)의 값을 구하시오.

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \( f(x) = 2x^3 - 3a x^2 - 12 a^2 x \) 라 하자. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(\dfrac{7}{27}\)일 때, \(f(3)\)의 값을 구하시오.

곡선 \(y = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 3}\)과 직선 \(y = x\)가 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(k\)라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(x > k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x - 3}\)이고 \(f(f(x)) = 3x\)이다. \(f\left(\dfrac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right)\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 + b x + 4\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 \(a, b\)에 대하여 \(f(1)\)의 최댓값을 구하시오. 모든 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow \alpha} \dfrac{f(2x + 1)}{f(x)}\)의 값이 존재한다.

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(|a_1|\)의 값의 합을 구하시오. <보기> (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \( a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 3 & \quad \text{if } |a_n| \text{ 이 짝수} \\ a_n + 3 & \quad \text{if } |a_n| \text{ 이 홀수} \end{cases} \) 이다. (나) \(|a_m| = |a_{m+2}|\)인 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(3\)이다.

다항식 \((x^3 + 2)^5\)의 전개식에서 \(x^6\)의 계수는?

두 사건 \(A, B\)에 대하여 \( P(A | B) = P(A) = \dfrac{1}{2}, \quad P(A \cap B) = \dfrac{1}{5} \) 일 때, \(P(A \cup B)\)의 값은?

정규분포 \(N(m, 2^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(256\)인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 \(m\)에 대한 신뢰도 \(95%\)의 신뢰구간이 \(a \leq m \leq b\)이다. \(b - a\)의 값은? (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(|Z| \leq 1.96) = 0.95\)로 계산한다.)

어느 학급의 학생 \(16\)명을 대상으로 과목 \(A\)와 과목 \(B\)에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 과목 \(A\)와 과목 \(B\) 중 하나를 선택하였고, 과목 \(A\)를 선택한 학생은 \(9\)명, 과목 \(B\)를 선택한 학생은 \(7\)명이다. 이 조사에 참여한 학생 \(16\)명 중에서 임의로 \(3\)명을 선택할 때, 선택한 \(3\)명의 학생 중에서 적어도 한 명이 과목 \(B\)를 선택한 학생일 확률은?

숫자 \(1, 3, 5, 7, 9\)가 각각 하나씩 적혀 있는 \(5\)장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 \(1\)장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 \(3\)번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 \(\overline{X}\)라 하자. \(V(a \overline{X} + 6) = 24\)일 때, 양수 \(a\)의 값은?

집합 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 \(f : X \rightarrow X\)의 개수는? <보기> (가) \(f(1) \times f(6)\)의 값이 \(6\)의 약수이다. (나) \(2f(1) \leq f(2) \leq f(3) \leq f(4) \leq f(5) \leq 2f(6)\)

정규분포 \(N(m_1, \sigma_1^2)\)을 따르는 확률변수 \(X\)와 정규분포 \(N(m_2, \sigma_2^2)\)을 따르는 확률변수 \(Y\)가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(P(X \leq x) = P(X \geq 40 - x)\)이고 \(P(Y \leq x) = P(X \leq x + 10)\)이다. \(P(15 \leq X \leq 20) + P(15 \leq Y \leq 20)\)의 값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것이 \(0.4772\)일 때, \(m_1 + \sigma_2\)의 값을 구하시오. (단, \(\sigma_1\)과 \(\sigma_2\)는 양수이다.)

탁자 위에 \(5\)개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 \(5\)개의 동전 중 \(1\)번째 자리와 \(2\)번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 \(3\)개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 \(5\)개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 \(k\)일 때, \(k \leq 5\)이면 \(k\)번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고, \(k = 6\)이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다. 위의 시행을 \(3\)번 반복한 후 이 \(5\)개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은 \(\dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)