2026학년도 9월 모의평가 (확률과 통계)

\(5^{\sqrt{2}+1} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 2\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(4+h) - f(4)}{h}\)의 값은?

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (2a_k - 1) = 30\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k\)의 값은?

닫힌구간 \([-2, 2]\)에서 정의된 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow -1-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1+} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 + 2)(x^2 + x - 3)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

\(\cos(\theta - \pi) = \dfrac{3}{5}\)이고 \(\tan \theta < 0\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 - 5x^2 + 6x\) 위의 점 \((3, 0)\)에서의 접선이 점 \((5, a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은?

두 양수 \(a, b\)가 \(\log_{\sqrt{2}} a + \log_2 b = 2\), \(\log_2 a + \log_2 b^2 = 7\) 을 만족시킬 때, \(a \times b\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하고, 함수 \(2f(x) + 1\)의 한 부정적분을 \(G(x)\)라 하자. \(G(3) = 2F(3)\)일 때, \(G(5) - 2F(5)\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_2 = 1\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^6 (-1)^k S_k = 21\) 일 때, \(S_2 + S_7\)의 값은?

시각 \(t = 0\)일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 시각이 \(t (t \geq 0)\)일 때 점 P의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 10t + 7\) 이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. 시각 \(t = 1\)일 때 점 P의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 시각 \(t = 2\)일 때 점 P의 위치는 □이다. ㄷ. 시각 \(t = 0\)에서 \(t = □\)까지 점 P가 움직인 거리는 □이다.

상수 \(m\)과 양수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = \log_a x\)와 두 직선 \(y = m\), \(y = m + 1\)이 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 점 B에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 C라 하자. \(\overline{AB} = \overline{AC}\)이고 삼각형 ACB의 넓이가 □일 때, \(m \times a\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 + 6x + 12\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 \(k\)의 개수는? 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{x^2}{(f(x))^2 - k(x+2)f(x)}\)의 값이 존재한다.

양수 \(k\)에 대하여 집합 \(\{x | 0 \leq x < \dfrac{3k \pi}{2}, x \neq \dfrac{k \pi}{2}\}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \tan\left(\dfrac{x}{k}\right)\)가 있다. 점 \(P(0, p) (p > 0)\)을 지나며 \(x\)축에 평행한 직선이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 두 점을 A, B \((\overline{PA} < \overline{PB})\)라 하고, 직선 \(y = -p\)가 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 만나는 점을 C라 하자. \(\overline{AB} = 3 \overline{PA}\)이고 삼각형 OCB의 넓이가 \(\dfrac{5 \pi}{3}\)일 때, \(k + p\)의 값은? (단, O는 원점이다.)

최고차항의 계수가 양수이고 \(f(0) = □\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} (|f(t)| - |t|) d t\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 \(g'(x) = 0\)의 서로 다른 실근의 개수는 □이다. (나) 함수 \(g(x)\)는 \(x = □\), \(x = □\)에서 극값을 갖는다. \(f(□) \times f(□)\)의 값은?

수열 \({a_n}\)은 \(a_1 = □\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = n a_n + 2\) 를 만족시킨다. \(a_□\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = □\)이고 \(f(□) = □\)일 때, \(f(□)\)의 값을 구하시오.

등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_3 = 6\), \(2 a_5 - a_4 = 15\) 일 때, \(a_{11}\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = 2x^3 - 3a x^2 + 5a\)의 극솟값이 \(a\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

그림과 같이 사각형 ABCD가 한 원에 내접하고 \(\overline{AB} : \overline{CD} = 1 : 3\), \(\overline{BC} < \overline{AD}\)일 때, 직선 AB와 직선 CD가 만나는 점을 P라 하자. 다음은 \(\overline{PB} : \overline{PC} : \overline{BC} = 7 : 5 : \sqrt{14}\)이고 \(\overline{AD} = 4 \sqrt{13}\)일 때, 삼각형 BPC의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다. \(\angle BPC = \theta\)라 할 때, \(\overline{PB} : \overline{PC} : \overline{BC} = 7 : 5 : \sqrt{14}\)이므로 삼각형 BPC에서 코사인법칙에 의하여 \(\cos \theta = \dfrac{6}{7}\)이다. \(\overline{PB} : \overline{PC} = 7 : 5\)에서 \(\overline{PB} = 7k\), \(\overline{PC} = 5k\), \(\overline{AB} : \overline{CD} = 1 : 3\)에서 \(\overline{AB} = l\), \(\overline{CD} = 3l\)이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형 BPC와 삼각형 DPA가 서로 닮음이므로 \(\overline{PB} : \overline{PC} = \overline{PD} : \overline{PA}\)이고, \(l = \) (가) \(\times k\)이다. 삼각형 BPC와 삼각형 DPA의 닮음비가 \(1 : \) (나)이므로 \(\overline{BC} = \dfrac{1}{\text{(나)}} \times \overline{AD}\)이다. 따라서 삼각형 BPC의 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)이라 할 때, 삼각형 BPC에서 사인법칙에 의하여 \(R = \) (다)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(p, q, r\)이라 할 때, \(p + q + r\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'(10)\)의 값을 구하시오. 0이 아닌 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\dfrac{f'(x)}{2} + x^2 - 2 \leq \dfrac{f(2x) - f(0)}{2x} \leq x^4\) 이다.

곡선 \(y = \log_2 x\) 위에 서로 다른 두 점 A, B가 있다. 점 A에서 직선 \(y = x\)에 내린 수선의 발을 P라 하고, 점 B를 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 점을 Q라 할 때, 네 점 A, B, P, Q가 다음 조건을 만족시킨다. (가) (직선 AP의 \(y\)절편) \(-\) (직선 BQ의 \(y\)절편) \(= \dfrac{13}{2}\) (나) 직선 AB의 기울기는 \(\dfrac{6}{7}\)이다. 사각형 APQB의 넓이가 \(\dfrac{q}{p}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

세 문자 \(a, b, c\) 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는?

두 사건 \(A, B\)에 대하여 \(P(A \cup B) = \dfrac{5}{6}\), \(P(A^C \cap B) = \dfrac{1}{4}\) 일 때, \(P(A^C)\)의 값은?

1학년 학생 1명, 2학년 학생 3명, 3학년 학생 4명이 있다. 이 8명의 학생 중 임의로 5명의 학생을 선택할 때, 선택된 2학년 학생 수와 선택된 3학년 학생 수가 서로 같을 확률은?

평균이 \(m\)이고 표준편차가 \(2 \sqrt{2}\)인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 128인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균의 값이 \(\overline{x}\)일 때, 이를 이용하여 구한 모평균 \(m\)에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 \(\overline{x} - c \leq m \leq \overline{x} + c\)이다. \(c\)의 값은? (단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(|Z| \leq 1.96) = 0.95\)로 계산한다.)

각 면에 숫자 1, 2, 2, 3이 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 서로 다른 상자 2개가 있다. 이 두 상자를 동시에 던져서 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 두 수의 차를 확률변수 \(X\)라 할 때, \(V(X)\)의 값은?

빨간색 카드 1장, 파란색 카드 1장, 노란색 카드 3장, 보라색 카드 3장이 있다. 이 8장의 카드를 세 학생 A, B, C에게 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) (가) 두 학생 A, B는 각각 1장 이상의 카드를 받고, 학생 C는 카드를 받지 못할 수 있다. (나) 학생 A가 받는 카드의 색의 가짓수는 3 이하이다.

두 집합 \(X\), \(Y\)에 대하여 다음 시행을 한다. 집합 \(X\)의 모든 부분집합 □개 중에서 임의로 한 개를 선택하고, 집합 \(Y\)의 모든 부분집합 □개 중에서 임의로 한 개를 선택한다. 선택한 두 집합의 교집합의 원소의 개수를 기록한다. 이 시행을 □번 반복하여 기록한 수가 □인 횟수가 □이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 □일 때, \(p \times q\)의 값을 구하시오.

학생 A는 숫자 □, □이 각각 하나씩 적혀 있는 □장의 카드 중 임의로 한 장의 카드를 선택하여 선택한 카드에 적힌 수가 □일 때만 선택한 카드를 바닥에 내려놓고, 학생 B는 숫자 □, □, □, □, □이 각각 하나씩 적혀 있는 □장의 카드 중 임의로 한 장의 카드를 선택하여 선택한 카드에 적힌 수가 자연수 \(n\)보다 작거나 같을 때만 선택한 카드를 바닥에 내려놓는다. 다음 규칙에 따라 학생 A가 귤을 받을 확률을 \(p\), 학생 B가 귤을 받을 확률을 \(q\)라 하자. • 카드를 내려놓은 학생이 □명이면 더 큰 수가 적힌 카드를 내려놓은 학생만 귤을 받는다. • 카드를 내려놓은 학생이 □명이면 카드를 내려놓지 않은 학생만 귤을 받는다. • 카드를 내려놓은 학생이 없으면 어느 학생도 귤을 받지 못한다. \(p = q\)일 때, \(n\)의 값을 구하시오. (단, \(n\)은 □이하의 자연수이다.)