2023년 9월 고1 학력평가

두 다항식 \(A = x^2 - 2x + 1\), \(B = 2x^2 + 2x - 2\)에 대하여 \(A + B\)를 간단히 하면?

등식 \(x^2 + (a+2)x = x^2 + 4x + (b-1)\)이 \(x\)에 대한 항등식일 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?

좌표평면 위의 점 \(A(a, 3)\)에 대하여 \(\overline{O A} = 4\)일 때, \(a^2\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

연립부등식 \( \begin{cases} x+6 \leq 4x \\ 3x+4 < x+16 \end{cases} \)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는?

등식 \(\dfrac{2}{1-i} = a + b i\)를 만족시키는 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

다항식 \(x^3 + a x^2 + b x + 3\)이 \((x+1)^2\)으로 나누어떨어질 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a+b\)의 값은?

좌표평면 위의 두 점 \(A(-5, -1)\), \(B(a, 1)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(2:1\)로 외분하는 점이 직선 \(y = x\) 위에 있을 때, 상수 \(a\)의 값은?

이차방정식 \(x^2 + 2x + 7 = 0\)의 서로 다른 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2\)의 값은?

연립방정식 \( \begin{cases} 2x - y = 1 \\ 5x^2 - y^2 = -5 \end{cases} \)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha - \beta\)의 값은?

좌표평면 위의 점 \((1, a)\)를 지나고 직선 \(4x - 2y + 1 = 0\)과 평행한 직선의 방정식이 \(b x - y + 5 = 0\)일 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a \times b\)의 값은?

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 이차함수 \(y = x^2 - 4x + a\)의 그래프의 꼭짓점을 \(A\)라 할 때, 점 \(A\)는 원 \(x^2 + y^2 + b x + 4y - 17 = 0\)의 중심과 일치한다. \(a + b\)의 값은?

연립부등식 \( \begin{cases} x^2 - 4x - 12 \leq 0 \\ x^2 - 4x + 4 > 0 \end{cases} \)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 개수는?

모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(x^2 + (m+2)x + 2m + 1 > 0\)이 성립하도록 하는 모든 정수 \(m\)의 값의 합은?

그림과 같이 좌표평면 위에 점 \(A(a, 6)\) \((a > 0)\)과 두 점 \((6, 0)\), \((0, 3)\)을 지나는 직선 \(l\)이 있다. 직선 \(l\) 위의 서로 다른 두 점 \(B\), \(C\)와 제1사분면 위의 점 \(D\)를 사각형 \(A B C D\)가 정사각형이 되도록 잡는다. 정사각형 \(A B C D\)의 넓이가 \(\dfrac{81}{5}\)일 때, \(a\)의 값은?

이차함수 \(y = -x^2\)의 그래프를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 후, \(x\)축의 방향으로 \(4\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(m\)만큼 평행이동한 그래프가 직선 \(y = 2x + 3\)에 접할 때, 상수 \(m\)의 값은?

그림과 같이 좌표평면 위에 두 원 \(C_1: (x-8)^2 + (y-2)^2 = 4\), \(C_2: (x-3)^2 + (y+4)^2 = 4\)와 직선 \(y = x\)가 있다. 점 \(A\)는 원 \(C_1\) 위에 있고, 점 \(B\)는 원 \(C_2\) 위에 있다. 점 \(P\)는 \(x\)축 위에 있고, 점 \(Q\)는 직선 \(y = x\) 위에 있을 때, \(\overline{A P} + \overline{P Q} + \overline{Q B}\)의 최솟값은? (단, 세 점 \(A\), \(P\), \(Q\)는 서로 다른 점이다.)

그림과 같이 \(\angle A = \angle B = 90^{\circ}\), \(\overline{A B} = 4\), \(\overline{B C} = 8\)인 사다리꼴 \(A B C D\)에 대하여 선분 \(A D\)를 \(2:1\)로 내분하는 점을 \(P\)라 하자. 두 직선 \(A C\), \(B P\)가 점 \(Q\)에서 서로 수직으로 만날 때, 삼각형 \(A Q D\)의 넓이는?

세 실수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 삼차다항식 \(P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(x\)에 대한 삼차방정식 \(P(x) = 0\)은 한 실근과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 곱은 \(5\)이다. (나) \(x\)에 대한 삼차방정식 \(P(3x - 1) = 0\)은 한 근 \(0\)과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 합은 \(2\)이다. \(a + b + c\)의 값은?

그림과 같이 기울기가 \(2\)인 직선 \(l\)이 원 \(x^2 + y^2 = 10\)과 제2사분면 위의 점 \(A\), 제3사분면 위의 점 \(B\)에서 만나고 \(\overline{A B} = 2 \sqrt{5}\)이다. 직선 \(O A\)와 원이 만나는 점 중 \(A\)가 아닌 점을 \(C\)라 하자. 점 \(C\)를 지나고 \(x\)축과 평행한 직선이 직선 \(l\)과 만나는 점을 \(D(a, b)\)라 할 때, 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a + b\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

좌표평면 위에 세 점 \(A(0, 4)\), \(B(4, 4)\), \(C(4, 0)\)이 있다. 세 선분 \(O A\), \(A B\), \(B C\)를 \(m : n\) \((m > 0, n > 0)\)으로 내분하는 점을 각각 \(P\), \(Q\), \(R\)라 하고, 세 점 \(P\), \(Q\), \(R\)를 지나는 원을 \(C\)라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(O\)는 원점이다.) <보기> ㄱ. \(m = n\)일 때, 점 \(P\)의 좌표는 \((0, 2)\)이다. ㄴ. 점 \(\left(\dfrac{4m}{m+n}, 0\right)\)은 원 \(C\) 위의 점이다. ㄷ. 원 \(C\)가 \(x\)축과 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리가 \(3\)일 때, \(\overline{P Q} = \dfrac{5 \sqrt{2}}{2}\)이다.

이차함수 \(f(x)\)와 이차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(g(x)\)에 대하여 \(x\)에 대한 이차방정식 \({x - f(k)}{x - g(k)} = 0\)이 서로 다른 두 실근 \(0\), \(4\)를 갖도록 하는 모든 실수 \(k\)의 개수가 \(3\)이다. \(f(2) = 4\)일 때, \(g(8) - f(8)\)의 값은?

다항식 \(x^3 - 3x^2 + 3x - 6\)을 \(x - 3\)으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

부등식 \(|x - 5| < 2\)를 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 값의 합을 구하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + 2 a x + a^2 + 4a - 28 = 0\)이 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 \(a\)의 개수를 구하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - p x + p + 19 = 0\)이 서로 다른 두 허근을 갖는다. 한 허근의 허수부분이 \(2\)일 때, 양의 실수 \(p\)의 값을 구하시오.

좌표평면에서 원 \(x^2 + y^2 = 25\) 위의 점 \((3, -4)\)에서의 접선이 원 \((x - 6)^2 + (y - 8)^2 = r^2\)과 만나도록 하는 자연수 \(r\)의 최솟값을 구하시오.

다항식 \(P(x)\)에 대하여 \((x - 2) P(x) - x^2\)을 \(P(x) - x\)로 나누었을 때의 몫은 \(Q(x)\), 나머지는 \(P(x) - 3x\)이다. \(P(x)\)를 \(Q(x)\)로 나눈 나머지가 \(10\)일 때, \(P(30)\)의 값을 구하시오. (단, 다항식 \(P(x) - x\)는 \(0\)이 아니다.)

그림과 같이 \(2 < a < 4\)인 실수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(f(x) = a x^2\), \(g(x) = -a(x - a)^2 + a^2\)의 그래프가 있다. 직선 \(y = 4a\)와 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 직선 \(y = a x\)와 함수 \(y = g(x)\)의 그래프가 만나는 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 사각형 \(A C D B\)의 넓이의 최댓값을 \(M\)이라 할 때, \(8 \times M\)의 값을 구하시오. (단, 점 \(A\)의 \(x\)좌표는 점 \(B\)의 \(x\)좌표보다 작고, 점 \(C\)의 \(x\)좌표는 점 \(D\)의 \(x\)좌표보다 작다.)

좌표평면 위의 세 점 \(A(-5, -1)\), \(B\), \(C\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 \(A B C\)의 무게중심의 좌표는 \((-1, 1)\)이다. (나) 세 점 \(A\), \(B\), \(C\)를 지나는 원의 중심은 원점이다. 삼각형 \(A B C\)의 넓이가 \(\dfrac{q}{p} \sqrt{105}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

이차함수 \(y = f(x)\)가 있다. 중심이 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위에 있고 반지름의 길이가 \(1\)인 원 중에서 다음 조건을 만족시키는 중심이 서로 다른 원의 개수는 \(5\)이다. 원을 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(m\)만큼 평행이동한 원이 \(x\)축과 \(y\)축에 동시에 접하도록 하는 실수 \(m\)의 값이 \(1\)개 이상 존재한다. 이 \(5\)개의 원의 중심의 \(x\)좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\)라 하자. \(x_1 = 0\), \(x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20\)이고 \(x_1 \leq x \leq x_5\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(0\)보다 클 때, \(f(20)\)의 값을 구하시오.