2025년 9월 고2 학력평가

\(2^3 \times 4^{-\dfrac{1}{2}}\)의 값은?

\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{3x+2}{(x+1)^2 - x^2}\)의 값은?

공차가 5인 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_1 + a_3 = 16\)일 때, \(a_4\)의 값은?

\(\dfrac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos \theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, \(\tan \theta\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x)\)의 값은?

반지름의 길이가 6이고 넓이가 \(15\pi\)인 부채꼴의 중심각의 크기는?

\(0 < a < 1\)인 상수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = \log_a x\) 위에 두 점 \(A(2, \log_a 2)\), \(B(4, \log_a 4)\)가 있다. 직선 AB의 기울기가 \(-\dfrac{1}{4}\)일 때, \(a\)의 값은?

수열 \({a_n}\)의 일반항이 \(a_n = \dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)}\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^8 a_k\)의 값은?

부등식 \(\log(x-1) + \log(x+2) \leq 1\)을 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 값의 합은?

함수 \(y = \sin \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \((0 \leq x < 4\pi)\)의 그래프와 \(x\)축이 만나는 서로 다른 두 점을 \(A\), \(B\)라 할 때, 선분 AB의 길이는?

함수 \(f(x) = \log_2(x+a) + b\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(f(15)\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

공차가 \(-4\)인 등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(S_{12} = 0\)일 때, \(S_n\)의 최댓값은?

1이 아닌 세 양수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(a^3 = b^2\), \(\log_a c = \log_b c + 1\)을 만족시킬 때, \(\log_c a b\)의 값은?

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2 - 12n + 27\)의 \(n\)제곱근 중 음의 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^{20} f(n)\)의 값은?

자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^2 - n x - 2 n^2\)이라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x + n\)이 만나는 서로 다른 두 점을 \(A_n\), \(B_n\)이라 하자. 삼각형 \(A_n O B_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^4 S_k\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

함수 \(f(x) = \begin{cases} \log_{\dfrac{1}{3}} x \text{ }(0 < x \leq 1) \\ \log_3 x \text{ }(x > 1) \end{cases}\)에 대하여 방정식 \(f(x) + f(3x) = 3\)의 모든 실근의 합은?

실수 \(t\) \((t > 1)\)에 대하여 직선 \(x = t\)가 두 곡선 \(y = x^2\), \(y = \sqrt{x}\)와 만나는 점을 각각 \(P\), \(Q\)라 하자. 점 \(A(1, 1)\)에 대하여 삼각형 \(A P Q\)의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 1^+} \dfrac{S(t)}{(t-1)^2}\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = a \cos\left(b x - \dfrac{\pi}{4}\right)\)가 \(0 \leq x \leq \pi\)에서 최댓값 \(4\), 최솟값 \(-2\sqrt{2}\)를 가질 때, \(a + b\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 좌표평면 위에 두 점 \(A(a, 3^a + b)\), \(B(a+3, 3^{a+3} + b)\)가 있다. 직선 \(y = x\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{A P} + \overline{B P}\)의 최솟값은 \(55\)이다. 곡선 \(y = \log_3(x - a - b)\) 위의 점 \(C\)에 대하여 점 \(C\)의 \(y\)좌표가 \(a + 3\)이고 \(\overline{A C} = a + 55\)일 때, \(a + b\)의 값은?

모든 항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n + 3}{2} \text{ }(a_n \text{이 홀수인 경우}) \\ \dfrac{3}{2} a_n \text{ }(a_n \text{이 짝수인 경우}) \end{cases}\)이다. (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n \leq a_3\)이다. \(a_4 + a_5 \leq 24\)가 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?

그림과 같이 반지름의 길이가 \(\dfrac{\sqrt{21}}{3}\)인 원 \(C_1\)에 내접하고 \(\overline{A B} = 2\), \(\overline{A C} = \sqrt{7}\)인 사각형 \(A B C D\)가 있다. 선분 \(A C\)가 삼각형 \(B C D\)에 내접하는 원 \(C_2\)의 넓이를 이등분할 때, 원 \(C_2\)의 반지름의 길이는? (단, \(\overline{B C} > \overline{C D}\))

방정식 \(25^x = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-9}\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2 a_k - b_k) = 80\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k = 30\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.

\(\log \times \log \log\)의 값을 구하시오.

\(\overline{A B}\), \(\overline{B C}\)이고 \(\angle B\)인 삼각형 \(A B C\)가 있다. 삼각형 \(A B C\)의 넓이가 일 때, 선분 \(A C\)의 길이를 구하시오.

첫째항이 양수인 등비수열의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_2 = -54\), \(6 S_1 + S_2 + S_4 = 0\)일 때의 값을 구하시오.

두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(0 \leq x \leq 8\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = a \sin \dfrac{\pi}{4} x + b\)이다. 집합 \(\{x | f(x) = n, n \text{은 자연수}\}\)의 모든 원소의 합이 \(22\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값을 구하시오.

모든 항이 자연수인 수열 \({a_n}\)에 대하여 수열 \({b_n}\)을 \(b_n = a_{3n-2} + a_{3n-1} + a_{3n}\)이라 할 때, 두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{3n-2} + a_{3n} = 2 a_{3n-1}\)이다. (나) 수열 \({b_n}\)은 공비가 \(3\)인 등비수열이다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{14} a_k = 500\)일 때, \(a_{13}\)의 값을 구하시오.

두 함수 \(f(x) = \dfrac{3}{a} |x - 3| - b\), \(g(x) = \sin \dfrac{\pi}{b} x + 3\)이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 자연수 \(a\), \(b\)의 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(2a + b\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M \times m\)의 값을 구하시오. (가) 함수 \(y = f(g(x))\)의 그래프는 직선 \(x = 3\)에 대하여 대칭이다. (나) \(0 \leq x \leq 6\)일 때, 함수 \(y = g(f(x))\)의 그래프가 직선 \(y = 3\)과 만나는 점의 개수는 \(3\)이다.

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)와 함수 \(g(x) = \dfrac{1}{3} x + a\)에 대하여 함수 \(h(x) = \begin{cases} g(x) + f(x) \text{ }(f(x) \geq g(x)) \\ g(x) - f(x) \text{ }(f(x) < g(x)) \end{cases}\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \alpha^-} h(x) \neq \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \alpha^+} h(x)\)를 만족시키는 실수 \(\alpha\)의 값은 \(2\)뿐이다. (나) 모든 실수 \(k\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow k} |h(x) - 1|\)의 값이 존재한다. \(h(0) = \dfrac{7}{3}\)일 때, \(h(5)\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)