2021년 10월 고3 학력평가

\(\log_3 x = 3\)일 때, \(x\)의 값은?

\(\displaystyle\int_{0}^{3} (x+1)^2 d x\)의 값은?

함수 \(y = \tan\left(\pi x + \dfrac{\pi}{2}\right)\)의 주기는?

공차가 \(d\)인 등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합이 \(n^2 - 5n\)일 때, \(a_1 + d\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. 함수 \((x^2 + a x + b) f(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 실수이다.)

곡선 \(y = 6^{-x}\) 위의 두 점 \(A(a, 6^{-a})\), \(B(a+1, 6^{-a-1})\)에 대하여 선분 \(A B\)는 한 변의 길이가 \(1\)인 정사각형의 대각선이다. \(6^{-a}\)의 값은?

두 함수 \(f(x) = |x + 3|\), \(g(x) = 2x + a\)에 대하여 함수 \(f(x) g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(2\)보다 큰 상수 \(k\)에 대하여 두 곡선 \(y = |\log_2 (-x + k)|\), \(y = |\log_2 x|\)가 만나는 세 점 \(P\), \(Q\), \(R\)의 \(x\)좌표를 각각 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)이라 하자. \(x_3 - x_1 = 2 \sqrt{3}\)일 때, \(x_1 + x_3\)의 값은? (단, \(x_1 < x_2 < x_3\))

수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n + a_{n+1} = 2n\)을 만족시킬 때, \(a_1 + a_{22}\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)와 \(3\)보다 작은 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x) = |(x - a) f(x)|\)가 \(x = 3\)에서만 미분가능하지 않다. 함수 \(g(x)\)의 극댓값이 \(32\)일 때, \(f(4)\)의 값은?

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)는 \( f(x) = \begin{cases} \sin x & \quad \text{if } 0 \leq x \leq \dfrac{k}{6} \pi \\ 2 \sin\left(\dfrac{k}{6} \pi\right) - \sin x & \quad \text{if } \dfrac{k}{6} \pi < x \leq 2 \pi \end{cases} \)이다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = \sin\left(\dfrac{k}{6} \pi\right)\)의 교점의 개수를 \(a_k\)라 할 때, \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\)의 값은?

곡선 \(y = x^2 - 4\) 위의 점 \(P(t, t^2 - 4)\)에서 원 \(x^2 + y^2 = 4\)에 그은 두 접선의 접점을 각각 \(A\), \(B\)라 하자. 삼각형 \(O A B\)의 넓이를 \(S(t)\), 삼각형 \(P B A\)의 넓이를 \(T(t)\)라 할 때, \( \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow 2^+} \dfrac{T(t)}{(t-2) S(t)} + \operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow \infty} \dfrac{T(t)}{(t^4 - 2) S(t)} \)의 값은? (단, \(O\)는 원점이고, \(t > 2\)이다.)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)와 역함수가 존재하는 삼차함수 \(g(x) = x^3 + a x^2 + b x + c\)가 다음 조건을 만족시킨다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(2 f(x) = g(x) - g(-x)\)이다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.) ㄱ. \(a^2 \leq 3 b\) ㄴ. 방정식 \(f'(x) = 0\)은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 \(f'(x) = 0\)이 실근을 가지면 \(g'(1) = 1\)이다.

모든 자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(l: x - 2y + \sqrt{5} = 0\) 위의 점 \(P_n\)과 \(x\)축 위의 점 \(Q_n\)이 다음 조건을 만족시킨다. 직선 \(P_n Q_n\)과 직선 \(l\)이 서로 수직이다. \(\overline{P_n Q_n} = \overline{P_n P_{n+1}}\)이고 점 \(P_{n+1}\)의 \(x\)좌표는 점 \(P_n\)의 \(x\)좌표보다 크다. 다음은 점 \(P_1\)이 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 직선 \(l\)의 접점일 때, \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여 삼각형 \(O Q_n P_n\)의 넓이를 구하는 과정이다. (단, \(O\)는 원점이다.) [풀이 과정에서 (가), (나), (다) 빈칸이 주어진다.] 위의 (가)에 알맞은 수를 \(p\), (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(n)\), \(g(n)\)이라 할 때, \(f(6 p) + g(8 p)\)의 값은?

최고차항의 계수가 \(4\)이고 \(f(0) = f'(0) = 0\)을 만족시키는 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \( g(x) = \begin{cases} \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t + 5 & \quad \text{if } x < c \\ |\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t - \dfrac{13}{3}| & \quad \text{if } x \geq c \end{cases} \)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 \(c\)의 개수가 \(1\)일 때, \(g(1)\)의 최댓값은?

함수 \(f(x) = 2 x^2 + a x + 3\)에 대하여 \(x = 2\)에서의 미분계수가 \(18\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도 \(v(t)\)가 \(v(t) = 12 - 4 t\)일 때, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(P\)가 움직인 거리를 구하시오.

그림과 같이 \(3\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 두 곡선 \(y = n^x\), \(y = 2^x\)이 직선 \(x = 1\)과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 두 곡선 \(y = n^x\), \(y = 2^x\)이 직선 \(x = 2\)와 만나는 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 사다리꼴 \(A B D C\)의 넓이가 \(18\) 이하가 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_{n+2} = \begin{cases} a_n - 3 & \quad \text{if } n = 1\ \\ 3 \\ a_n + 3 & \quad \text{if } n = 2\ \\ 4 \end{cases}\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = a_{n+6}\)이 성립한다. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{32} a_k = 112\)일 때, \(a_1 + a_2\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = 0\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(1 - x) = -f(1 + x)\)를 만족시킨다. 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = -6 x^2\)으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(4 S\)의 값을 구하시오.

\(\overline{A B} > \overline{A C}\)인 예각삼각형 \(A B C\)에서 \(\angle A\)의 이등분선과 삼각형 \(A B C\)의 외접원이 만나는 점을 \(D\), 점 \(D\)에서 선분 \(A C\)에 내린 수선의 발을 \(E\)라 하자. 선분 \(A E\)의 길이를 [원본 누락]라 할 때, [원본 누락]의 값을 구하시오.

양수 [원본 누락]에 대하여 최고차항의 계수가 [원본 누락]인 삼차함수 [원본 누락]와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [원본 누락]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 [원본 누락]에 대하여 [원본 누락]이다. (나) 함수 [원본 누락]는 [원본 누락]과 [원본 누락]에서 미분가능하다. [원본 누락]의 값을 구하시오.