2021년 7월 고3 학력평가 (미적분)

\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\) 인 \(\theta\) 에 대하여 \(\sin \theta = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\) 일 때, \(\sec \theta\) 의 값은?

\(\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} 2 \cos 2x \sin^2 2x \, d x\) 의 값은?

자연수 \(r\) 에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} \dfrac{3^n + r^{n+1}}{3^n + 7 \times r^n} = 1\) 이 성립하도록 하는 모든 \(r\) 의 값의 합은?

그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정사각형 \(O A_1 B_1 C_1\) 의 대각선 \(O B_1\) 을 3:1로 내분하는 점을 \(D_1\) 이라 하고, 네 선분 \(A_1 B_1\), \(B_1 C_1\), \(C_1 D_1\), \(D_1 A_1\) 로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 \(R_1\) 이라 하자. 그림 \(R_1\) 에서 중심이 \(O\) 이고 두 직선 \(A_1 D_1\), \(C_1 D_1\) 에 동시에 접하는 원과 선분 \(O B_1\) 이 만나는 점을 \(B_2\) 라 하자. 선분 \(O B_2\) 를 대각선으로 하는 정사각형 \(O A_2 B_2 C_2\) 를 그리고 정사각형 \(O A_2 B_2 C_2\) 에 그림 \(R_1\) 을 얻는 것과 같은 방법으로 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\) 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 그림 \(R_n\) 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{n\rightarrow \infty} S_n\) 의 값은?

곡선 \(y = x e^{-2x}\) 의 변곡점을 \(A\) 라 하자. 곡선 \(y = x e^{-2x}\) 위의 점 \(A\) 에서의 접선이 \(x\) 축과 만나는 점을 \(B\) 라 할 때, 삼각형 \(O A B\) 의 넓이는? (단, \(O\) 는 원점이다.)

그림과 같이 반지름의 길이가 5인 원에 내접하고, \(\overline{A B} = \overline{A C}\) 인 삼각형 \(A B C\) 가 있다. \(\angle B A C = \theta\) 라 하고, 점 \(B\) 를 지나고 직선 \(A B\) 에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 \(B\) 가 아닌 점을 \(D\), 직선 \(B D\) 와 직선 \(A C\) 가 만나는 점을 \(E\) 라 하자. 삼각형 \(A B C\) 의 넓이를 \(f(\theta)\), 삼각형 \(C D E\) 의 넓이를 \(g(\theta)\) 라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{g(\theta)}{\theta^2 \times f(\theta)}\) 의 값은? (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\))

함수 \(f(x) = x^3 - x\) 와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 \(g(x) = a x^3 + x^2 + b x + 1\) 이 있다. 함수 \(g(x)\) 의 역함수 \(g^{-1}(x)\) 에 대하여 함수 \(h(x)\) 를 \(h(x) = \begin{cases} (f \circ g^{-1})(x) & \quad \text{if } x < 0 \text{또는} x > 1 \\ \dfrac{1}{\pi} \sin \pi x & \quad \text{if } 0 \leq x \leq 1 \end{cases}\) 이라 하자. 함수 \(h(x)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(g(a+b)\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\) 는 상수이다.)

두 자연수 \(a\), \(b\) 에 대하여 이차함수 \(f(x) = a x^2 + b\) 가 있다. 함수 \(g(x)\) 를 \(g(x) = \ln f(x) - \dfrac{1}{10} {f(x) - 1}\) 이라 하자. 실수 \(t\) 에 대하여 직선 \(y = |g(t)|\) 와 함수 \(y = |g(x)|\) 의 그래프가 만나는 점의 개수를 \(h(t)\) 라 하자. 두 함수 \(g(x)\), \(h(t)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(g(x)\) 는 \(x = 0\) 에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 \(h(t)\) 가 \(t = k\) 에서 불연속인 \(k\) 의 값의 개수는 7이다. \(\displaystyle\int_{0}^{a} e^x f(x) \, d x = m e^a - 19\) 일 때, 자연수 \(m\) 의 값을 구하시오.