2024년 6월 고2 학력평가

\(\sqrt[3]{4} \times 2^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

\(\log_3 24 + \log_3 \dfrac{3}{8}\)의 값은?

중심각의 크기가 \(\dfrac{3}{4} \pi\)이고 호의 길이가 \(\dfrac{2}{3} \pi\)인 부채꼴의 반지름의 길이는?

\(0 \leq x \leq \pi\)일 때, 방정식 \(2 \cos x + 1 = 0\)의 해는?

다음은 상용로그표의 일부이다. 위의 표를 이용하여 \(\log 43.5\)의 값을 구한 것은?

반지름의 길이가 \(6\)인 원에 내접하는 삼각형 \(A B C\)에서 \(\sin A = \dfrac{1}{4}\)일 때, \(\overline{B C}\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos \theta = -\dfrac{3}{4}\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

함수 \(y = \log_3 (x + a) + b\)의 그래프가 점 \((5, 0)\)을 지나고 점근선이 직선 \(x = -4\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

함수 \(y = \tan a x + b\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

함수 \(y = 5^x + 1\)의 역함수의 그래프가 점 \((4, \log_5 a)\)를 지날 때, \(a\)의 값은?

함수 \(y = 4^x - 6\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지나고 점근선이 직선 \(y = -2\)일 때, \(a b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

실수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = 2 \cos^2 x + 2 \sin x + k\)의 최댓값이 \(\dfrac{15}{2}\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 최솟값은?

부등식 \(2^{2 x + 3} + 2 \leq 17 \times 2^x\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수는?

모든 정수 \(a\)의 값의 합은?

좌표평면에서 원 \(x^2 + y^2 = r^2\) \((r > 2)\)와 직선 \(x = -2\)가 만나는 두 점 중 \(y\)좌표가 양수인 점을 \(A\), \(y\)좌표가 음수인 점을 \(B\)라 하고, 두 동경 \(O A\), \(O B\)가 나타내는 각의 크기를 각각 \(\alpha\), \(\beta\)라 하자. \(2 \cos \alpha = 3 \sin \beta\)일 때, \(r (\sin \alpha + \cos \beta)\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이고, \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

그림과 같이 사각형 \(A B C D\)가 한 원에 내접하고 \(\overline{A B} = 4\), \(\overline{A D} = 5\), \(\overline{B D} = \sqrt{33}\)이다. 삼각형 \(B C D\)의 넓이가 \(2 \sqrt{6}\)일 때, \(\overline{B C} \times \overline{C D}\)의 값은?

그림과 같이 상수 \(k\) \((5 < k < 6)\)에 대하여 직선 \(y = -x + k\)가 두 곡선 \(y = -\log_3 x + 4\), \(y = 3^{-x + 4}\)과 만나는 네 점을 \(x\)좌표가 작은 점부터 차례로 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)라 하자. \(\overline{A D} - \overline{B C} = 4 \sqrt{2}\)일 때, \(k\)의 값은?

실수 \(k\) \((0 \leq k \leq 2 \pi)\)에 대하여 \(-\pi \leq x \leq k\)에서 부등식 \(\sin x + \cos \dfrac{\pi}{8} < 0\)을 만족시키는 모든 \(x\)의 값의 범위가 \(-\pi - \alpha < x < \alpha\)가 되도록 하는 \(k\)의 최댓값은?

두 상수 \(a\), \(k\) \((1 < a < 4, 0 < k < 1)\)에 대하여 직선 \(y = 4\)가 두 곡선 \(y = a^{1 - x}\), \(y = 4^{1 - x}\)과 만나는 두 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 직선 \(y = k\)가 두 곡선 \(y = a^{1 - x}\), \(y = 4^{1 - x}\)과 만나는 두 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 사각형 \(A D C B\)가 넓이가 \(\dfrac{15}{2}\)인 평행사변형일 때, \(4 a k\)의 값은?

그림과 같이 중심이 \(O\)이고 길이가 \(2\)인 선분 \(A B\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(A B\) 위의 세 점 \(C\), \(D\), \(E\)가 \(\overline{D E} = \overline{E B}\), \(\overline{C D} : \overline{D E} = 1 : \sqrt{2}\), \(\angle C O E = \dfrac{\pi}{2}\)를 만족시킨다. \(\cos (\angle O B E)\)의 값은? (단, 점 \(D\)는 점 \(B\)가 아니다.)

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f(x) = 3^x - n\)의 그래프가 함수 \(y = f^{-1}(x)\)의 그래프와 만나는 두 점의 \(x\)좌표 중 큰 값을 \(g(n)\)이라 하자. \(k \leq g(n) < k + 1\)을 만족시키는 자연수 \(k\)를 \(h(n)\)이라 할 때, \(h(n) < h(n + 1)\)을 만족시키는 \(100\) 이하의 모든 \(n\)의 값의 합은?

\((5^{2 - \sqrt{3}})^{2 + \sqrt{3}}\)의 값을 구하시오.

방정식 \(\log_4 (x - 1) = 3\)의 해를 구하시오.

\(0 \leq x \leq 6\)에서 함수 \(y = \log_{\dfrac{1}{3}} (x + 3) + 30\)의 최댓값을 구하시오.

함수 \(y = 6 \cos \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) + k\)의 그래프가 점 \(\left(\dfrac{5}{6} \pi, 9\right)\)를 지날 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

자연수 \(n\)에 대하여 \(\sqrt[n + 1]{8}\)이 어떤 자연수의 네제곱근이 되도록 하는 모든 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

\(1\)보다 큰 세 실수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \(\log_a b = 81\), \(\log_c \sqrt{a} = \log_{\sqrt{b}} c\)를 만족시킬 때, \(\log_c b\)의 값을 구하시오.

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(x \geq 0\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = \begin{cases} a (4 - x^2) & \quad \text{if } 0 \leq x < 3 \\ b \log_2 \dfrac{x}{3} - 5 a & \quad \text{if } x \geq 3 \end{cases}\)이다. 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 두 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하자. \(\overline{A B} = 10\)이고 \(f(b) = 2 b\)일 때, \(5 a + b\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 \(\overline{A C} > 2 \sqrt{7}\)인 삼각형 \(A B C\)에 대하여 선분 \(A C\) 위의 점 \(D\)가 \(\overline{C D} = 2 \sqrt{7}\), \(\cos (\angle B D A) = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\)을 만족시킨다. 삼각형 \(A B C\)와 삼각형 \(A B D\)의 외접원의 반지름의 길이를 각각 \(R_1\), \(R_2\)라 하자. \(R_1 : R_2 = 4 : 3\)일 때, \(\overline{B C} + \overline{B D}\)의 값을 구하시오.

\(1\)보다 큰 실수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = |2 \sin \dfrac{\pi}{k} x + \dfrac{1}{2}|\)이 다음 조건을 만족시킨다. 실수 \(t\) \((0 \leq t \leq 2 k)\)에 대하여 \(t \leq x \leq t + 1\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값이 \(\dfrac{1}{2}\)이 되도록 하는 \(t\)의 값은 \(\alpha\)와 \(\beta\)뿐이다. \(k \alpha + \beta\)의 값을 구하시오. (단, \(\alpha < \beta\))