2023년 11월 고3 학력평가

\(4^{1-\sqrt{3}} \times 2^{1+2 \sqrt{3}}\)의 값은?

\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x)\)의 값은?

첫째항이 1인 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_5 - a_3 = 8\)일 때, \(a_2\)의 값은?

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(1+2h)-4}{h} = 6\)일 때, \(f(1) + f'(1)\)의 값은?

\(\sin(-\theta) + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \dfrac{8}{5}\)이고 \(\cos \theta < 0\)일 때, \(\tan \theta\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 + 3a\)가 \(x = -2\)에서 극대일 때, 함수 \(f(x)\)의 극솟값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

다항함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가하고 \(f'(x) = {3x - f(1)}(x-1)\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값은?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = a \cos b x\)의 주기가 \(6 \pi\)이고 닫힌구간 \([\pi, 4 \pi]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값이 1일 때, \(a + b\)의 값은?

수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 1 - 4 \times S_n\)이고 \(a_4 = 4\)일 때, \(a_1 \times a_6\)의 값은?

실수 \(m\)에 대하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 속도를 각각 \(v_1(t) = 3t^2 + 1\), \(v_2(t) = m t - 4\)라 하자. 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 2\)까지 두 점 P, Q가 움직인 거리가 같도록 하는 모든 \(m\)의 값의 합은?

공차가 정수인 두 등차수열 \({a_n}\), \({b_n}\)과 자연수 \(m\) \((m \geq 3)\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(|a_1 - b_1| = 5\) (나) \(a_m = b_m\), \(a_{m+1} < b_{m+1}\) \(\displaystyle\sum_{k=1}^m a_k = 9\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^m b_k\)의 값은?

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = \dfrac{1}{2} x\)가 원점 O에서 접하고 \(x\)좌표가 양수인 두 점 A, B \((\overline{OA} < \overline{OB})\)에서 만난다. 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 OA로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_1\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 AB로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S_2\)라 하자. \(\overline{AB} = \sqrt{5}\)이고 \(S_1 = S_2\)일 때, \(f(1)\)의 값은?

두 상수 \(a\), \(b\) \((b > 0)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \begin{cases} 2^{x+3} + b & \quad (x \leq a) \\ 2^{-x+5} + 3b & \quad (x > a) \end{cases}\)라 하자. 다음 조건을 만족시키는 실수 \(k\)의 최댓값이 \(4b + 8\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(k > b\)) \(b < t < k\)인 모든 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = t\)의 교점의 개수는 1이다.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 \(y\)절편을 \(g(t)\)라 하자. 두 함수 \(f(x)\), \(g(t)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(|f(k)| + |g(k)| = 0\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 개수는 2이다. \(4 f(1) + 2 g(1) = -1\)일 때, \(f(4)\)의 값은?

첫째항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{3} & \quad (a_n \text{이 3의 배수인 경우}) \\ \dfrac{a_n^2 + 5}{3} & \quad (a_n \text{이 3의 배수가 아닌 경우}) \end{cases}\)를 만족시킬 때, \(a_4 + a_5 = 5\)가 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?

방정식 \(\log_2 (x-3) = 1 - \log_2 (x-4)\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = (x-1)(x^3 + x^2 + 5)\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 3인 이차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t = 2 x^3 + \displaystyle\int_{0}^{-x} f(t) d t\)를 만족시킨다. \(f(1) = 5\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

집합 \(U = \{x | -5 \leq x \leq 5, x \text{는 정수}\}\)의 공집합이 아닌 부분집합 \(X\)에 대하여 두 집합 \(A\), \(B\)를 \(A = \{a | a \text{는} x \text{의 실수인 네제곱근,} x \in X\}\), \(B = \{b | b \text{는} x \text{의 실수인 세제곱근,} x \in X\}\)라 하자. \(n(A) = 9\), \(n(B) = 7\)이 되도록 하는 집합 \(X\)의 모든 원소의 합의 최댓값을 구하시오.

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x f(x) = \left(-\dfrac{1}{2} x + 3\right) g(x) - x^3 + 2 x^2\)을 만족시킨다. 상수 \(k\) \((k \neq 0)\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{g(x-1)}{f(x) - g(x)} \times \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{{f(x)}^2}{g(x)} = k\)일 때, \(k\)의 값을 구하시오.

그림과 같이 중심이 O, 반지름의 길이가 6이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{2}\)인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위에 점 C를 \(\overline{AC} = 4 \sqrt{2}\)가 되도록 잡는다. 호 AC 위의 한 점 D에 대하여 점 D를 지나고 선분 OA에 평행한 직선과 점 C를 지나고 선분 AC에 수직인 직선이 만나는 점을 E라 하자. 삼각형 CED의 외접원의 반지름의 길이가 \(3 \sqrt{2}\)일 때, \(\overline{AD} = p + q \sqrt{7}\)을 만족시키는 두 유리수 \(p\), \(q\)에 대하여 \(9 \times |p \times q|\)의 값을 구하시오. (단, 점 D는 점 A도 아니고 점 C도 아니다.)

최고차항의 계수가 4이고 서로 다른 세 극값을 갖는 사차함수 \(f(x)\)와 두 함수 \(g(x)\), \(h(x) = \begin{cases} 4x + 2 & \quad (x < a) \\ -2x - 3 & \quad (x \geq a) \end{cases}\)가 있다. 세 함수 \(f(x)\), \(g(x)\), \(h(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(|g(x)| = f(x)\), \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 0+} \dfrac{g(x+t) - g(x)}{t} = |f'(x)|\) (나) 함수 \(g(x) h(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. \(g(0) = \dfrac{40}{3}\)일 때, \(g(1) \times h(3)\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)