2021년 11월 고2 학력평가

\(\tan \dfrac{10}{3} \pi\)의 값은?

\(\log_3 18 - \log_3 2\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 3x + 1\)에 대하여 \(f'(1)\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0-} f(x) \times \operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1+} f(x)\)의 값은?

부등식 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-7} \geq 9\)를 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 개수는?

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k = 5\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k = 20\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (a_k + 2 b_k - 1)\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + x^2 - 2 x\)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(k\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(10\)일 때, 양수 \(k\)의 값은?

\(1\)이 아닌 양수 \(a\)에 대하여 \(\log_2 3 \times \log_a 4 = \dfrac{1}{2}\)일 때, \(\log_3 a\)의 값은?

닫힌구간 \([1, 3]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-a} + 1\)의 최댓값이 \(5\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 최솟값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

좌표평면 위의 점 \(P(4, -3)\)에 대하여 동경 \(O P\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) - \sin \theta\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이고, \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = 4 \cos \dfrac{\pi}{a} x + b\)의 주기가 \(4\)이고 최솟값이 \(-1\)일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a > 0\))

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 - a x + 2 b \ \\ (x < 1) \\ -3 x + b \ \\ (x \geq 1) \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(a \times b\)의 값은? (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

\(0\)이 아닌 모든 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(\dfrac{1}{2} x^2 + 2 x < f(x) < x^2 + 2 x\)를 만족시킬 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{x f(x) + 5 x}{2 f(x) - x}\)의 값은?

모든 항이 양수인 등비수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 하자. \(a_1 = 3\), \(\dfrac{S_6}{S_5 - S_2} = \dfrac{a_2}{2}\)일 때, \(a_4\)의 값은?

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{f(x) - a + 2}{x - 1} = 4\), \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{g(x) + a - 2}{x - 1} = a\)를 만족시킨다. 함수 \(f(x) g(x)\)의 \(x = 1\)에서의 미분계수가 \(-1\)일 때, 상수 \(a\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = \dfrac{23}{32}\)일 때, \(\sin \theta - \cos \theta\)의 값은?

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(2^{n-3} - 8\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^m f(n) = 15\)가 되도록 하는 자연수 \(m\)의 값은?

그림과 같이 실수 \(t\) \((0 < t < 1)\)에 대하여 직선 \(y = 2 t\)가 두 곡선 \(y = x^2\), \(y = t x^2\)과 제1사분면에서 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 직선 \(y = t + 1\)이 두 곡선 \(y = x^2\), \(y = t x^2\)과 제1사분면에서 만나는 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. 사각형 \(A B D C\)의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t\rightarrow 1-} \dfrac{S(t)}{(1-t)^2}\)의 값은?

다음은 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1}\right) a_k = n^2\)을 만족시킬 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)를 구하는 과정이다. \(T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1}\right) a_k\)라 하자. (i) \(T_1 = 1\)이므로 \(a_1 = \) (가) 이다. (ii) \(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 \(T_n = n^2\)에서 \(T_n - T_{n-1} = 2 n - 1\)이고 \(T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{k} - \dfrac{1}{\text{(나)}} \times \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)에서 \(T_n - T_{n-1} = \dfrac{1}{\text{(다)}} \times \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = (2 n - 1) \times (\text{(나)})\)이다. (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = (2 n - 1) \times (\text{(나)})\)이다. (가)에 알맞은 수를 \(p\), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(n)\), \(g(n)\)이라 할 때, \(f(2 p) \times g(3 p)\)의 값은?

그림과 같이 \(1\)보다 큰 두 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 직선 \(y = a\)가 두 곡선 \(y = 2^x\), \(y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x\)과 만나는 점을 각각 \(A\), \(B\)라 하고, 직선 \(y = \dfrac{1}{b}\)이 두 곡선 \(y = 2^x\), \(y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x\)과 만나는 점을 각각 \(C\), \(D\)라 하자. <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(a = b\)이면 \(\overline{A B} = \overline{C D}\)이다. ㄴ. 직선 \(A C\)의 기울기를 \(m_1\), 직선 \(B D\)의 기울기를 \(m_2\)라 하면 \(2 m_1 + m_2 = 0\)이다. ㄷ. 직선 \(A C\)와 직선 \(B D\)가 서로 수직이고 직선 \(A D\)의 기울기가 \(2 \sqrt{2}\)이면 사각형 \(A B C D\)는 마름모이다.

수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_1\)은 \(1\)이 아닌 양수이다. (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{2n-1} + a_{2n} = 1\)이고 \(a_{2n} \times a_{2n+1} = 1\)이다. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{14} (|a_n| - a_n) = 10\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값의 합은?

\(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{9 x^2 + 1}{3 x^2 + 5 x}\)의 값을 구하시오.

세 수 \(\dfrac{a}{3}\), \(4 \sqrt{2}\), \(6 a\)가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 \(a\)의 값을 구하시오.

방정식 \(2 \log_4 (x - 3) + \log_2 (x - 10) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (k^2 - a k) = 275\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

\(0 \leq x < 2 \pi\)에서 \(x\)에 대한 부등식 \((2 a + 6) \cos x - a \sin^2 x + a + 12 < 0\)의 해가 존재하도록 하는 자연수 \(a\)의 최솟값을 구하시오.

공차가 \(2\)인 등차수열 \({a_n}\)과 자연수 \(m\)이 \(\displaystyle\sum_{k=1}^m a_{k+1} = 240\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^m (a_k + m) = 360\)을 만족시킬 때, \(a_m\)의 값을 구하시오.

삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 1} \dfrac{f(x)}{x-1} = 3\) (나) \(1\)이 아닌 상수 \(\alpha\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{f(x)}{(x-2) f'(x)} = \alpha\)이다. \(\alpha \times f(4)\)의 값을 구하시오.

삼각형 \(A B C\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\cos A = -\dfrac{1}{4}\) (나) \(\sin B + \sin C = \dfrac{9}{8}\) 삼각형 \(A B C\)의 넓이가 \(\sqrt{15}\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 외접원의 넓이는 \(\dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = x^2 - 2 a x + b\)라 할 때, 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \begin{cases} f(x + a) \ \\ (x \leq a) \\ |f(x)| \ \\ (x > a) \end{cases}\)라 하자. 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = t\)와 함수 \(y = g(x)\)의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 \(h(t)\)라 할 때, 함수 \(h(t)\)는 다음 조건을 만족시킨다. \(k \geq 24\)인 임의의 실수 \(k\)에 대해서만 함수 \({h(t) - 2} h(t - k)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이다. \(10 a + b\)의 값을 구하시오.