2021년 6월 고2 학력평가

\(\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{9}\)의 값은?

\(\log_2 \sqrt{2} + \log_2 2 \sqrt{2}\)의 값은?

반지름의 길이가 \(6\)이고 넓이가 \(15 \pi\)인 부채꼴의 중심각의 크기는?

\(\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \pi\)일 때, 방정식 \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\)의 해는?

다음은 상용로그표의 일부이다. (수 3.1: .4969, .4983, .4997 / 수 3.2: .5105, .5119, .5132 / 수 3.3: .5237, .5250, .5263, 열은 4, 5,
6) \(\log(3.14 \times 10^{-2})\)의 값을 위의 표를 이용하여 구한 것은?

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos \theta = -\dfrac{2}{3}\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은?

\((\sqrt{2})^{1 + \log_2 3}\)의 값은?

\(-1 \leq x \leq 2\)에서 함수 \(f(x) = a \times 2^{2-x} + b\)의 최댓값이 \(5\), 최솟값이 \(-2\)일 때, \(f(0)\)의 값은? (단, \(a > 0\)이고, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(y = \log_2 (x - a) + 1\)의 그래프가 점 \((7, b)\)를 지나고 점근선이 직선 \(x = 3\)일 때, \(a + b\)의 값은?

세 양수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 함수 \(y = a \tan b x + c\)의 그래프가 그림과 같을 때, \(a \times b \times c\)의 값은?

방정식 \(2^{x - 6} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{x^2}\)의 모든 해의 합은?

주어진 채널을 통해 신뢰성 있게 전달할 수 있는 최대 정보량을 채널용량이라 한다. 채널용량을 \(C\), 대역폭을 \(W\), 신호전력을 \(S\), 잡음전력을 \(N\)이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. \( C = W \log_2 \left(1 + \dfrac{S}{N}\right) \) 대역폭이 \(15\), 신호전력이 \(186\), 잡음전력이 \(a\)인 채널용량이 \(75\)일 때, 상수 \(a\)의 값은? (단, 채널용량의 단위는 bps, 대역폭의 단위는 Hz, 신호전력과 잡음전력의 단위는 모두 Watt이다.)

\(0 \leq x < 2 \pi\)일 때, 부등식 \(3 \sin x - 2 > 0\)의 해가 \(\alpha < x < \beta\)이다. \(\cos(\alpha + \beta)\)의 값은?

\(x > 0\)에서 정의된 함수 \( f(x) = \begin{cases} 0 \text{ }(0 < x \leq 1) \\ \log_3 x \text{ }(x > 1) \end{cases} \) 에 대하여 \(f(t) + f\left(\dfrac{1}{t}\right) = 2\)를 만족시키는 모든 양수 \(t\)의 값의 합은?

그림과 같이 \(\overline{A B} = 3\), \(\overline{A C} = 1\)이고 \(\angle B A C = \dfrac{\pi}{3}\)인 삼각형 ABC가 있다. \(\angle B A C\)의 이등분선이 선분 BC와 만나는 점을 P라 할 때, 삼각형 APC의 외접원의 넓이는?

상수 \(k\)에 대하여 그림과 같이 직선 \(x = k\) \((k > 1)\)이 두 함수 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_a x\) \((a > 2)\)의 그래프와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 점 B를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 함수 \(y = \log_2 x\)의 그래프와 만나는 점을 C라 하자. 함수 \(y = \log_2 x\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점을 D라 할 때, 삼각형 ACB와 삼각형 BCD의 넓이의 비는 \(3 : 2\)이다. 상수 \(a\)의 값은?

\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}\)인 임의의 실수 \(\theta\)에 대하여 그림과 같이 \(\overline{A B} = 3\), \(\angle A B C = \theta\), \(\angle C A B = 3 \theta\)인 삼각형 ABC가 있다. 선분 BC 위에 점 D를 \(\angle D A C = \theta\)가 되도록 잡고, 선분 AC 위에 점 E를 \(\angle E D C = \theta\)가 되도록 잡는다. 다음은 삼각형 ADE의 넓이 \(S(\theta)\)를 구하는 과정이다. \(\angle A B C = \theta\), \(\angle D A B = 2 \theta\)이므로 \(\angle B D A = \pi - 3 \theta\)이다. 삼각형 ABD에서 사인법칙에 의하여 \( \dfrac{\overline{A D}}{\sin \theta} = \dfrac{\overline{A B}}{(가)} \) 이므로 \(\overline{A D} = \dfrac{3 \sin \theta}{(가)}\)이다. 또한 \(\angle A D E = 2 \theta\)이므로 \( \overline{D E} = (나) \times \overline{A D}^2 \) 이다. 따라서 삼각형 ADE의 넓이 \(S(\theta)\)는 \( S(\theta) = \dfrac{9}{2} \times \left(\dfrac{\sin \theta}{\sin 3 \theta}\right)^3 \times (다) \) 이다. 위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 \(f(\theta)\), \(g(\theta)\)라 하고, (나)에 알맞은 수를 \(p\)라 할 때, \(p \times f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \times g\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\)의 값은?

반지름의 길이가 \(\dfrac{4 \sqrt{3}}{3}\)인 원이 삼각형 ABC에 내접하고 있다. 원이 선분 BC와 만나는 점을 D라 하고 \(\overline{B D} = 12\), \(\overline{D C} = 4\)일 때, 삼각형 ABC의 둘레의 길이는?

부등식 \( (\sqrt{2} - 1)^m \geq (3 - 2 \sqrt{2})^{5 - n} \) 을 만족시키는 자연수 \(m\), \(n\)의 모든 순서쌍 \((m, n)\)의 개수는?

자연수 \(n\)에 대하여 직선 \(y = 1\)이 곡선 \(y = 2^x - 1\), 직선 \(y = -(1 + \log_2 n) x + 7\)과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 두 점 A, B 사이의 거리를 \(f(n)\)이라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(2) = 2\) ㄴ. \(f(n) \geq 1\)을 만족시키는 \(n\)의 개수는 \(4\)이다. ㄷ. \(|f(n) - 1| \geq \dfrac{2}{3}\)을 만족시키는 \(n\)의 개수는 \(245\)이다.

상수 \(k\)에 대하여 정의역과 공역이 각각 실수 전체의 집합인 함수 \( f(x) = \begin{cases} 2^{-x-2} - 2 \text{ }(x < k) \\ -\log_2 (x + 2) - 2 \text{ }(x \geq k) \end{cases} \) 가 일대일대응이다. 함수 \(g(x)\)를 \( g(x) = \begin{cases} \log_2 (2 - x) + 2 \text{ }(x < -k) \\ -2^{x-2} + 2 \text{ }(x \geq -k) \end{cases} \) 라 할 때, \(f(a) \leq b \leq g(a)\)를 만족시키는 정수 \(a\), \(b\)의 모든 순서쌍 \((a, b)\)의 개수는? (단, \(-2 \leq a \leq 2\))

\(5^{\dfrac{7}{3}} \div 5^{\dfrac{1}{3}}\)의 값을 구하시오.

방정식 \(\log_3 (x - 2) = 1\)의 해를 구하시오.

\(\tan \theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, \(50 \cos^2 \theta\)의 값을 구하시오.

함수 \(y = 2 \sin \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + k\)의 그래프가 점 \(\left(\dfrac{\pi}{6}, 2\right)\)를 지날 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.

함수 \(y = f(x)\)의 그래프는 함수 \(y = \log_2 x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼 평행이동한 후 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치한다. 함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 점 \((1, 5)\)를 지날 때, \(f(m)\)의 값을 구하시오. (단, \(m\)은 상수이다.)

\(1\)보다 큰 세 실수 \(a\), \(b\), \(c\)가 \( \log_a b = \dfrac{\log_b c}{2} = \dfrac{\log_c a}{3} = k \) (\(k\)는 상수) 를 만족시킬 때, \(120 k^3\)의 값을 구하시오.

두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 좌표평면 위에 두 점 \(A(a, \log_4 b)\), \(B(1, \log_8 \sqrt[4]{27})\)이 있다. 선분 AB를 \(2 : 1\)로 외분하는 점이 곡선 \(y = -\log_4 (3 - x)\) 위에 있고, 집합 \(\{n | b < 2^n \times a \leq 32 b, n \text{은 정수}\}\)의 모든 원소의 합은 \(25\)이다. \(a + b\)의 최댓값을 구하시오.

\(\overline{D A} = 2 \overline{A B}\), \(\angle D A B = \dfrac{2}{3} \pi\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원에 내접하는 사각형 ABCD가 있다. 두 대각선 AC, BD의 교점을 E라 할 때, 점 E는 선분 BD를 \(3 : 4\)로 내분한다. 사각형 ABCD의 넓이가 \(\dfrac{q}{p} \sqrt{3}\)일 때, \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

두 자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 세 함수 \( f(x) = \cos \pi x, \text{ } g(x) = \sin \pi x, \text{ } h(x) = a x + b \) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(0 \leq x \leq 4\)일 때, 방정식 \((f \circ h)(x) = (h \circ g)\left(\dfrac{3}{2}\right)\)의 서로 다른 실근의 개수는 홀수이다. (나) \(0 \leq x \leq 4\)일 때, 방정식 \((f \circ h)(x) = (h \circ g)(t)\)의 서로 다른 모든 실근의 합이 \(56\)이 되도록 하는 실수 \(t\)가 존재한다. \(\dfrac{a \times b}{\cos^2 \pi t}\)의 값을 구하시오.