2025년 10월 고3 학력평가 (기하)

\(\sqrt[3]{3} \times 9^{\dfrac{1}{3}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 2x + 1\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

첫째항이 8이고 공비가 0이 아닌 등비수열 \({a_n}\)이 \(a_1 a_3 = 2 a_2 a_4\)를 만족시킬 때, \(a_5\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \quad \text{if } x < 3 \\ x + 2a & \quad \text{if } x \geq 3 \end{cases}\)이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \(a\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x^2 - x)(2 x^2 - 5)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan(\pi - \theta) = -2\)일 때, \(\cos \theta - \sin \theta\)의 값은?

곡선 \(y = x^3 - 6 x + 7\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 \(y\)절편은?

두 실수 \(a\), \(b\)가 \(3 a + b = \log_3 45\), \(a + b = \log_9 5\)를 만족시킬 때, \(a - b\)의 값은?

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P\), \(Q\)의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = -t^3 + 7 t^2 - 10 t\), \(x_2 = t^2 + 2 t\)이다. 두 점 \(P\), \(Q\)의 속도가 같아지는 순간 두 점 \(P\), \(Q\) 사이의 거리는?

두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 2 a]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 3 \sin \dfrac{\pi x}{a} + b\)의 그래프가 \(x\)축과 오직 한 점 \((2, 0)\)에서 만날 때, \(a + b\)의 값은?

이차함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x + 3) f(x) = \displaystyle\int_{-3}^x (4 f(t) - 2 t^2) d t\)를 만족시킨다. \(f(2)\)의 값은?

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{30} a_n\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \(M - m\)의 값은? 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(3 a_n^2 + 2 n a_n - 8 n^2 = 0\)이다.

상수 \(a (a > 1)\)에 대하여 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(f(0) = f(a) = f(a + 1) = 0\)을 만족시킨다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 2 x\)가 세 점 \(O\), \(P\), \(Q (\overline{O P} < \overline{O Q})\)에서 만난다. 두 점 \(R(a, 0)\), \(S(a + 1, 0)\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)와 두 선분 \(O P\), \(O R\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 \(R S\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 하자. \(\overline{O Q} = 5 \sqrt{5}\)일 때, \(A - B\)의 값은? (단, \(O\)는 원점이다.)

그림과 같이 \(\overline{B C} = 6\)인 삼각형 \(A B C\)에서 선분 \(A C\)를 \(4 : 3\)으로 내분하는 점을 \(D\)라 하자. 선분 \(B D\) 위의 점 \(E\)가 \(\angle D A E = \angle D B C\), \(\sin(\angle D A E) : \sin(\angle E D A) = 1 : 3\)을 만족시킨다. \(\overline{A E} = \sqrt{5}\)일 때, 삼각형 \(B C D\)의 외접원의 넓이는?

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} |f(t)| d t + |\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t|\)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(g(x) = 0\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위는 \(-7 \leq x \leq 0\)이다. (나) 양수 \(p\)에 대하여 \(g(x) = 81\)을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값의 범위는 \(4 p \leq x \leq 7 p\)이다. \(f(-10)\)의 값은?

방정식 \(\log_4 (x + 2) + \log_4 2 = \log_2 (x - 2)\)를 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 6 x^2 - 2 x\)이고 \(f(1) = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 (a_n - 2)(b_n - 2) = 60\), \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 (a_n + b_n) = 44\)일 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^7 a_n b_n\)의 값을 구하시오.

두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 - 6 x^2 + a x + b\)라 하자. 함수 \(f(x)\)는 \(x = 3\)에서 극값을 갖고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 합이 8이다. \(a + b\)의 값을 구하시오.

상수 \(a\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는 함수 \(f(x) = \begin{cases} 2^{x+2} + 7 & \quad \text{if } x < -2 \\ -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-a} + 10 & \quad \text{if } x \geq -2 \end{cases}\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(x + 2^a y - t = 0\)이 만나는 점의 개수를 \(g(t)\)라 하자. \(g(t) = 2\)를 만족시키는 \(t\)의 최솟값이 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 같도록 하는 모든 \(2^a\)의 값의 곱을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{2 x^2 f(x) - (f(k))^2}{x - k} = \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow k} \dfrac{(f(x))^2 - (f(k))^2}{x - k}\)을 만족시키는 실수 \(k\)는 \(t\), \(-t (t > 1)\)뿐이다. 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 17일 때, \(f(4)\)의 값을 구하시오.

실수 \(k\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 \({a_n}\)이 있다. \(a_1 = 3\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \begin{cases} |a_n + n| & \quad \text{if } a_n < 0 \\ a_n - 10 + k & \quad \text{if } a_n \geq 0 \end{cases}\)이다. \(a_4 \times a_5 = 0\)이 되도록 하는 \(k\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (-1, 2)\), \(\overrightarrow{b} = (1, 1)\)에 대하여 \(\overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}\)의 모든 성분의 합은?

포물선 \(y^2 = 4 x\) 위의 점 \((4, 4)\)에서의 접선의 기울기는?

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 \(B C D E\)를 밑면으로 하고 \(\overline{A B} = \overline{A C} = \overline{A D} = \overline{A E}\)인 사각뿔 \(A - B C D E\)가 있다. 직선 \(A C\)와 평면 \(B C D E\)가 이루는 각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{3}\)일 때, 삼각형 \(A B C\)의 넓이는?

좌표공간의 두 점 \(A(a, -5, 2)\), \(B(2, 1, 1)\)에 대하여 선분 \(A B\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점을 \(P\), 선분 \(A B\)를 \(2 : 1\)로 외분하는 점을 \(Q\)라 하자. 선분 \(P Q\)의 중점을 중심으로 하는 구가 \(y z\)평면과 \(z x\)평면에 모두 접할 때, 양수 \(a\)의 값은?

그림과 같이 두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0) (c > 0)\)이고 장축의 길이가 12인 타원이 있다. 점 \(F\)를 중심으로 하고 점 \(F'\)을 지나는 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)가 \(y\)축과 만나는 점 중 \(y\)좌표가 양수인 점을 \(P\)라 하고, 원 \(C\)가 직선 \(P F\)와 만나는 점 중 \(P\)가 아닌 점을 \(Q\)라 하자. 직선 \(P Q\)가 타원과 만나는 점 중 제 1사분면에 있는 점을 \(R\)이라 하면 점 \(R\)은 선분 \(P Q\)를 \(1 : 3\)으로 내분한다. 선분 \(O R\)의 길이는? (단, \(O\)는 원점이다.)

좌표공간에 서로 평행한 두 평면 \(\alpha\), \(\beta\)와 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(\sqrt{13}\)인 구 \(S\)가 있다. 점 \(O\)에서 두 평면 \(\alpha\), \(\beta\)에 내린 수선의 발을 각각 \(H_1\), \(H_2\)라 하면 \(\overline{O H_1} = \overline{O H_2} = 2\)이다. 구 \(S\)가 평면 \(\alpha\)와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 \(P\), 구 \(S\)가 평면 \(\beta\)와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점을 \(Q\)라 하자. 삼각형 \(P O Q\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 넓이가 최대일 때, 평면 \(P O Q\)와 평면 \(\beta\)가 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(\cos \theta\)의 값은? (단, 세 점 \(O\), \(P\), \(Q\)는 한 직선 위에 있지 않고, 직선 \(P Q\)와 직선 \(H_1 H_2\)는 서로 평행하지 않다.)

두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0) (c > 0)\)인 쌍곡선 \(C\)가 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제 1사분면 위의 점 \(P\)에 대하여 직선 \(P F\)는 쌍곡선 \(C\)의 한 점근선과 평행하다. 직선 \(P F\)가 \(y\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 할 때, \(\angle Q P F' = \dfrac{\pi}{2}\), \(\overline{Q F} = 20\)이다. 삼각형 \(O P Q\)의 넓이를 구하시오. (단, \(O\)는 원점이다.)

좌표평면에 한 변의 길이가 8인 정사각형 \(A B C D\)와 \(\overrightarrow{A E} = \overrightarrow{A D} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}\)를 만족시키는 점 \(E\)가 있다. 선분 \(B C\)를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여 점 \(Q\)가 다음 조건을 만족시킨다. \(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A P} \geq 0\)이면 \(\overrightarrow{B Q} + \overrightarrow{C Q} = 4 \overrightarrow{P Q}\)이고, \(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A P} < 0\)이면 \(\overrightarrow{B Q} + \overrightarrow{C Q} = 6 \overrightarrow{P Q}\)이다. \(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A Q}\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \((M + m)^2\)의 값을 구하시오.