고3 2023년 10월 학평 (미적분)

\(2^{\sqrt{2}} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{2} - 1}\)의 값은? [2점]

함수 \(f(x) = 2 x^3 + 3 x\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(2 h) - f(0)}{h}\)의 값은? [2점]

공차가 3인 등차수열 \({a_n}\)과 공비가 2인 등비수열 \({b_n}\)이 \(a_2 = b_2\), \(a_4 = b_4\)를 만족시킬 때, \(a_1 + b_1\)의 값은? [3점]

두 자연수 \(m\), \(n\)에 대하여 함수 \(f(x) = x(x - m)(x - n)\)이 \(f(1) f(3) < 0\), \(f(3) f(5) < 0\)을 만족시킬 때, \(f(6)\)의 값은? [3점]

\(\pi < \theta < \dfrac{3}{2} \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\dfrac{1}{1 - \cos \theta} + \dfrac{1}{1 + \cos \theta} = 18\)일 때, \(\sin \theta\)의 값은? [3점]

곡선 \(y = \dfrac{1}{3} x^2 + 1\)과 \(x\)축, \(y\)축 및 직선 \(x = 3\)으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

등차수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(S_7 - S_4 = 0\), \(S_6 = 30\)이다. \(a_2\)의 값은? [3점]

두 함수 \(f(x) = -x^4 - x^3 + 2 x^2\), \(g(x) = \dfrac{1}{3} x^3 - 2 x^2 + a\)가 있다. 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(f(x) \leq g(x)\)가 성립할 때, 실수 \(a\)의 최솟값은? [3점]

자연수 \(n (n \geq 2)\)에 대하여 \(n^2 - 16 n + 48\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n = 2}^{10} f(n)\)의 값은? [4점]

실수 \(t (t > 0)\)에 대하여 직선 \(y = t x + t + 1\)과 곡선 \(y = x^2 - t x - 1\)이 만나는 두 점을 A, B라 할 때, \(\operatorname*{lim}\limits_{t \rightarrow \infty} \dfrac{\overline{AB}}{t^2}\)의 값은? [4점]

그림과 같이 두 상수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = a \sin \dfrac{\pi x}{b} + 1 \left(0 \leq x \leq \dfrac{5}{2} b\right)\)의 그래프와 직선 \(y = 5\)가 만나는 점을 \(x\)좌표가 작은 것부터 차례로 A, B, C라 하자. \(\overline{BC} = \overline{AB} + 6\)이고 삼각형 AOB의 넓이가 \(\dfrac{15}{2}\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값은? (단, \(a > 4\), \(b > 0\)이고, O는 원점이다.) [4점]

양수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x) = \left| x^3 - 12 x + k \right|\)라 하자. 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = a (a \geq 0)\)이 만나는 서로 다른 점의 개수가 홀수가 되도록 하는 실수 \(a\)의 값이 오직 하나일 때, \(k\)의 값은? [4점]

그림과 같이 두 상수 \(a (a > 1)\), \(k\)에 대하여 두 함수 \(y = a^{x + 1} + 1\), \(y = a^{x - 3} - \dfrac{7}{4}\)의 그래프와 직선 \(y = -2 x + k\)가 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 점 Q를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선이 함수 \(y = -a^{x + 4} + \dfrac{3}{2}\)의 그래프와 점 R에서 만나고 \(\overline{PR} = \overline{QR} = 5\)일 때, \(a + k\)의 값은? [4점]

최고차항의 계수가 1이고 \(f'(2) = 0\)인 이차함수 \(f(x)\)가 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{4}^{n} f(x) d x \geq 0\)을 만족시킬 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ. \(f(2) < 0\) ㄴ. \(\displaystyle\int_{4}^{3} f(x) d x > \displaystyle\int_{4}^{2} f(x) d x\) ㄷ. \(6 \leq \displaystyle\int_{4}^{6} f(x) d x \leq 14\) [4점]

모든 항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n + 1} = \begin{cases} \dfrac{1}{2} a_n + 2 n & \quad \quad (a_n \text{이 4의 배수인 경우}) \\ a_n + 2 n & \quad \quad (a_n \text{이 4의 배수가 아닌 경우}) \end{cases}\)이다. (나) \(a_3 > a_5\) \(50 < a_4 + a_5 < 60\)이 되도록 하는 \(a_1\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 할 때, \(M + m\)의 값은? [4점]

방정식 \(\log_2 (x - 2) = 1 + \log_4 (x + 6)\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오. [3점]

삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x) = (x + 2) f(x)\)라 하자. 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((3, 2)\)에서의 접선의 기울기가 4일 때, \(g'(3)\)의 값을 구하시오. [3점]

두 수열 \({a_n}\), \({b_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k = 1}^{10} (a_k - b_k + 2) = 50\), \(\displaystyle\sum_{k = 1}^{10} (a_k - 2 b_k) = -10\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k = 1}^{10} (a_k + b_k)\)의 값을 구하시오. [3점]

시각 \(t = 0\)일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도가 각각 \(v_1 (t) = 12 t - 12\), \(v_2 (t) = 3 t^2 + 2 t - 12\)이다. 시각 \(t = k (k > 0)\)에서 두 점 P, Q의 위치가 같을 때, 시각 \(t = 0\)에서 \(t = k\)까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오. [3점]

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(2 x^2 f(x) = 3 \displaystyle\int_{0}^{x} (x - t) {f(x) + f(t)} d t\)를 만족시킨다. \(f'(2) = 4\)일 때, \(f(6)\)의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 선분 BC를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 ABC와 ADE가 모두 내접한다. 두 선분 AD와 BC가 점 F에서 만나고 \(\overline{BC} = \overline{DE} = 4\), \(\overline{BF} = \overline{CE}\), \(\sin(\angle CAE) = \dfrac{1}{4}\)이다. \(\overline{AF} = k\)일 때, \(k^2\)의 값을 구하시오. [4점]

삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 구간 \((0, \infty)\)에서 정의된 함수 \(g(x) = \begin{cases} x^3 - 8 x^2 + 16 x & \quad \quad (0 < x \leq 4) \\ f(x) & \quad \quad (x > 4) \end{cases}\)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 구간 \((0, \infty)\)에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, \(g(10) = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) (가) \(g\left(\dfrac{21}{2}\right) = 0\) (나) 점 \((-2, 0)\)에서 곡선 \(y = g(x)\)에 그은, 기울기가 0이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다. [4점]

\(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{2 n^2 + 3 n - 5}{n^2 + 1}\)의 값은? [2점]

\(\operatorname*{lim}\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{2 \pi}{n} \displaystyle\sum_{k = 1}^n \sin \dfrac{\pi k}{3 n}\)의 값은? [3점]

그림과 같이 곡선 \(y = \dfrac{2}{\sqrt{x}}\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = 1\), \(x = 4\)로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피는? [3점]

함수 \(f(x) = e^{2 x} + e^x - 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 함수 \(g(5 f(x))\)의 \(x = 0\)에서의 미분계수는? [3점]

모든 항이 자연수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{a_n}{3^n} = 4\)이고 급수 \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{a_{2 n}}\)이 실수 \(S\)에 수렴할 때, \(S\)의 값은? [3점]

함수 \(f(x) = \sin x \cos x \times e^{a \sin x + b \cos x}\)이 다음 조건을 만족시키도록 하는 서로 다른 두 실수 \(a\), \(b\)의 순서쌍 \((a, b)\)에 대하여 \(a - b\)의 최솟값은? (가) \(a b = 0\) (나) \(\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} f(x) d x = \dfrac{1}{a^2 + b^2} - 2 e^{a + b}\) [4점]

그림과 같이 \(\overline{AB} = \overline{AC}\), \(\overline{BC} = 2\)인 삼각형 ABC에 대하여 선분 AB를 지름으로 하는 원이 선분 AC와 만나는 점 중 A가 아닌 점을 D라 하고, 선분 AB의 중점을 E라 하자. \(\angle BAC = \theta\)일 때, 삼각형 CDE의 넓이를 \(S(\theta)\)라 하자. \(60 \times \operatorname*{lim}\limits_{\theta \rightarrow 0+} \dfrac{S(\theta)}{\theta}\)의 값을 구하시오. (단, \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)) [4점]

두 정수 \(a\), \(b\)에 대하여 함수 \(f(x) = (x^2 + a x + b) e^{-x}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(f(x)\)는 극값을 갖는다. (나) 함수 \(\left| f(x) \right|\)가 \(x = k\)에서 극대 또는 극소인 모든 \(k\)의 값의 합은 3이다. \(f(10) = p e^{-10}\)일 때, \(p\)의 값을 구하시오. [4점]