2023년 6월 고1 학력평가

\(i(1-i)\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

두 다항식 \(A = 2x^2 - 4x + 3\), \(B = -x^2 + 9x + 6\)에 대하여 \(A+B\)를 간단히 하면?

\(x\)에 대한 다항식 \(x^3 - 2x^2 - 8x + a\)가 \(x - 3\)으로 나누어떨어질 때, 상수 \(a\)의 값은?

등식 \(x^2 + a x - 3 = x(x+2) + b\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, \(a + b\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

부등식 \(|2x - 3| < 5\)의 해가 \(a < x < b\)일 때, \(a + b\)의 값은?

이차함수 \(y = x^2 + 5x + 9\)의 그래프와 직선 \(y = x + k\)가 만나지 않도록 하는 자연수 \(k\)의 개수는?

\(\dfrac{2022 \times (2023^2 + 2024)}{2024 \times 2023 + 1}\)의 값은?

\(x = 1 - 2i\), \(y = 1 + 2i\)일 때, \(x^3 y + x y^3 - x^2 - y^2\)의 값은? (단, \(i = \sqrt{-1}\))

연립방정식 \(\begin{cases} 4x^2 - y^2 = 27 \\ 2x + y = 3 \end{cases}\)의 해를 \(x = \alpha\), \(y = \beta\)라 할 때, \(\alpha - \beta\)의 값은?

\(x\)에 대한 이차방정식 \(2x^2 + a x + b = 0\)의 한 근이 \(2 - i\)일 때, \(b - a\)의 값은? (단, \(a\), \(b\)는 실수이고, \(i = \sqrt{-1}\)이다.)

최고차항의 계수가 1인 이차다항식 \(P(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(P(4)\)의 값은? (가) \(P(x)\)를 \(x - 1\)로 나누었을 때의 나머지는 \(1\)이다. (나) \(x P(x)\)를 \(x - 2\)로 나누었을 때의 나머지는 \(2\)이다.

\(x\)에 대한 삼차방정식 \(x^3 - (2a + 1) x^2 + (a + 1)^2 x - (a^2 + 1) = 0\)의 서로 다른 두 허근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 하자. \(\alpha + \beta = 8\)일 때, \(\alpha \beta\)의 값은? (단, \(a\)는 실수이다.)

\(x\)에 대한 다항식 \(x^5 + a x^2 + (a + 1) x + 2\)를 \(x - 1\)로 나누었을 때의 몫은 \(Q(x)\)이고 나머지는 \(6\)이다. \(a + Q(2)\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

분자 사이에 인력이나 반발력이 작용하지 않고 분자의 크기를 무시할 수 있는 가상의 기체를 이상 기체라 한다. 강철 용기에 들어 있는 이상 기체의 부피를 \(V\) (L), 몰수를 \(n\) (mol), 절대 온도를 \(T\) (K), 압력을 \(P\) (atm)이라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다. \(V = R \left(\dfrac{n T}{P}\right)\) (단, \(R\)는 기체 상수이다.) 강철 용기 A와 강철 용기 B에 부피가 각각 \(V_A\), \(V_B\)인 이상 기체가 들어 있다. 강철 용기 A에 담긴 이상 기체의 몰수는 강철 용기 B에 담긴 이상 기체의 몰수의 \(\dfrac{1}{4}\)배이고, 강철 용기 A에 담긴 이상 기체의 압력은 강철 용기 B에 담긴 이상 기체의 압력의 \(\dfrac{3}{2}\)배이다. 강철 용기 A와 강철 용기 B에 담긴 이상 기체의 절대 온도가 같을 때, \(\dfrac{V_A}{V_B}\)의 값은?

그림과 같이 직선 \(x = t\) \((0 < t < 3)\)이 두 이차함수 \(y = 2x^2 + 1\), \(y = -(x - 3)^2 + 1\)의 그래프와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 두 점 \(A(0, 1)\), \(B(3, 1)\)에 대하여 사각형 PAQB의 넓이의 최솟값은?

\(x\)에 대한 삼차방정식 \((x - a)(x^2 + (1 - 3a) x + 4) = 0\)이 서로 다른 세 실근 \(1\), \(\alpha\), \(\beta\)를 가질 때, \(\alpha \beta\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.)

그림과 같이 이차함수 \(y = a x^2\) \((a > 0)\)의 그래프와 직선 \(y = x + 6\)이 만나는 두 점 A, B의 \(x\)좌표를 각각 \(\alpha\), \(\beta\)라 하자. 점 B에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 H, 점 A에서 선분 BH에 내린 수선의 발을 C라 하자. \(\overline{B C} = \dfrac{7}{2}\)일 때, \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값은? (단, \(\alpha < \beta\))

다음은 자연수 \(n\)에 대하여 \(x\)에 대한 사차방정식 \(4x^4 - 4(n + 2) x^2 + (n - 2)^2 = 0\)이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 \(20\) 이하의 모든 \(n\)의 값을 구하는 과정이다. \(P(x) = 4x^4 - 4(n + 2) x^2 + (n - 2)^2\)이라 하자. \(x^2 = X\)라 하면 주어진 방정식 \(P(x) = 0\)은 \(4X^2 - 4(n + 2) X + (n - 2)^2 = 0\) 근의 공식에 의해 \(X = \dfrac{n + 2 \pm \sqrt{(가)}}{2}\)이다. 그러므로 \(X = \left(\sqrt{\dfrac{n}{2}} + 1\right)^2\) 또는 \(X = \left(\sqrt{\dfrac{n}{2}} - 1\right)^2\)에서 \(x = \sqrt{\dfrac{n}{2}} + 1\) 또는 \(x = -\sqrt{\dfrac{n}{2}} - 1\) 또는 \(x = \sqrt{\dfrac{n}{2}} - 1\) 또는 \(x = -\sqrt{\dfrac{n}{2}} + 1\)이다. 방정식 \(P(x) = 0\)이 정수해를 갖기 위해서는 \(\sqrt{\dfrac{n}{2}}\)이 자연수가 되어야 한다. 따라서 자연수 \(n\)에 대하여 방정식 \(P(x) = 0\)이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 \(20\) 이하의 모든 \(n\)의 값은 (나), (다)이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\)이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 \(a\), \(b\)라 할 때, \(f(b - a)\)의 값은? (단, \(a < b\))

그림과 같이 선분 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABC가 있다. 점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 할 때, \(\overline{C H} = 1\)이고 삼각형 ABC의 넓이는 \(\dfrac{4}{3}\)이다. \(\overline{B H} = x\)라 할 때, \(3x^3 - 5x^2 + 4x + 7\)의 값은? (단, \(x < 1\))

실수 \(a\)에 대하여 이차함수 \(f(x) = (x - a)^2\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(2 \leq x \leq 10\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값은 \(0\)이다. (나) \(2 \leq x \leq 6\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 \(6 \leq x \leq 10\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값은 같다. \(f(-1)\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m\)의 값은?

\(1\)이 아닌 양수 \(k\)에 대하여 직선 \(y = k\)와 이차함수 \(y = x^2\)의 그래프가 만나는 두 점을 각각 A, B라 하고, 직선 \(y = k\)와 이차함수 \(y = x^2 - 6x + 6\)의 그래프가 만나는 두 점을 각각 C, D라 할 때, <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 A의 \(x\)좌표는 점 B의 \(x\)좌표보다 작고, 점 C의 \(x\)좌표는 점 D의 \(x\)좌표보다 작다.) <보기> ㄱ. \(k = 6\)일 때, \(\overline{C D} = 6\)이다. ㄴ. \(k\)의 값에 관계없이 \(\overline{C D}^2 - \overline{A B}^2\)의 값은 일정하다. ㄷ. \(\overline{C D} + \overline{A B} = 4\)일 때, \(k + \overline{B C} = \dfrac{17}{16}\)이다.

다항식 \((4x - y - 3z)^2\)의 전개식에서 \(y z\)의 계수를 구하시오.

\(x\)에 대한 부등식 \(x^2 + a x + b \leq 0\)의 해가 \(-2 \leq x \leq 4\)일 때, \(a b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

다항식 \(x^3 + 2\)를 \((x + 1)(x - 2)\)로 나누었을 때의 나머지를 \(a x + b\)라 할 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 상수이다.)

이차방정식 \(x^2 - 6x + 11 = 0\)의 서로 다른 두 허근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때, \(11 \left(\dfrac{\overline{\alpha}}{\alpha} + \dfrac{\overline{\beta}}{\beta}\right)\)의 값을 구하시오. (단, \(\overline{\alpha}\), \(\overline{\beta}\)는 각각 \(\alpha\), \(\beta\)의 켤레복소수이다.)

다음은 삼차다항식 \(P(x) = a x^3 + b x^2 + c x + 11\)을 \(x - 3\)으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정의 일부를 나타낸 것이다. \(P(x)\)를 \(x - 4\)로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)

자연수 \(n\)에 대하여 \(x\)에 대한 연립부등식 \(\begin{cases} |x - n| > 2 \\ x^2 - 14 x + 40 \leq 0 \end{cases}\)을 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

그림과 같이 이차함수 \(y = x^2 - 4x + \dfrac{25}{4}\)의 그래프가 직선 \(y = a x\) \((a > 0)\)과 한 점 A에서만 만난다. 이차함수 \(y = x^2 - 4x + \dfrac{25}{4}\)의 그래프가 \(y\)축과 만나는 점을 B, 점 A에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 H라 하고, 선분 OA와 선분 BH가 만나는 점을 C라 하자. 삼각형 BOC의 넓이를 \(S_1\), 삼각형 ACH의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, \(S_1 - S_2 = \dfrac{q}{p}\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

\(49\) 이하의 두 자연수 \(m\), \(n\)이 \((\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^m - i^n)^2 = 4\)를 만족시킬 때, \(m + n\)의 최댓값을 구하시오. (단, \(i = \sqrt{-1}\))

두 이차함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프는 \(x\)축과 한 점 \((0, 0)\)에서만 만난다. (나) 부등식 \(f(x) + g(x) \geq 0\)의 해는 \(x \geq 2\)이다. (다) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) - g(x) \geq f(1) - g(1)\)이다. \(x\)에 대한 방정식 \((f(x) - k) \times (g(x) - k) = 0\)이 실근을 갖지 않도록 하는 정수 \(k\)의 개수가 \(5\)일 때, \(f(22) + g(22)\)의 최댓값을 구하시오.