2025학년도 9월 모의평가 (기하)

\(\dfrac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[8]{4}}\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^3 + 3x^2 - 5\)에 대하여 \(\operatorname*{lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\)의 값은?

모든 항이 실수인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_2 a_3 = 2\), \(a_4 = 4\)일 때, \(a_6\)의 값은?

함수 \(y = f(x)\)의 그래프가 그림과 같다. \(\operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 0^-} f(x) + \operatorname*{lim}\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)\)의 값은?

함수 \(f(x) = (x+1)(x^2+x-5)\)에 대하여 \(f'(2)\)의 값은?

\(\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\cos(\pi + \theta) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)일 때, \(\sin \theta + \cos \theta\)의 값은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} (x-a)^2 & \quad \text{if } x < 4 \\ 2x - 4 & \quad \text{if } x \geq 4 \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 \(a\)의 값의 곱은?

\(a > 2\)인 상수 \(a\)에 대하여 두 수 \(\log_2 a\), \(\log_a 8\)의 합과 곱이 각각 \(4\), \(k\)일 때, \(a + k\)의 값은?

함수 \(f(x) = x^2 + x\)에 대하여 \(5 \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x - \displaystyle\int_{0}^{1} (5x + f(x)) d x\)의 값은?

\(\angle A > \dfrac{\pi}{2}\)인 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. \(\overline{AB} : \overline{AC} = \sqrt{2} : 1\), \(\overline{AH} = 2\)이고, 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 \(50 \pi\)일 때, 선분 BH의 길이는?

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\) \((t \geq 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_1 = t^2 + t - 6\), \(x_2 = -t^3 + 7t^2\)이다. 두 점 P, Q의 위치가 같아지는 순간 두 점 P, Q의 가속도를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때, \(p - q\)의 값은?

수열 \({a_n}\)은 등차수열이고, 수열 \({b_n}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k\)를 만족시킨다. \(b_2 = -2\), \(b_3 + b_7 = 0\)일 때, 수열 \({b_n}\)의 첫째항부터 제9항까지의 합은?

함수 \(f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x + 6 & \quad \text{if } x < 0 \\ -x^2 + 2x + 6 & \quad \text{if } x \geq 0 \end{cases}\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 서로 다른 두 점을 P, Q라 하고, 상수 \(k\) \((k > 4)\)에 대하여 직선 \(x = k\)가 \(x\)축과 만나는 점을 R이라 하자. 곡선 \(y = f(x)\)와 선분 PQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\), 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(x = k\) 및 선분 QR로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라 하자. \(A = 2B\)일 때, \(k\)의 값은? (단, 점 P의 \(x\)좌표는 음수이다.)

자연수 \(n\)에 대하여 곡선 \(y = 2^x\) 위의 두 점 \(A_n\), \(B_n\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 \(A_n B_n\)의 기울기는 \(3\)이다. (나) \(\overline{A_n B_n} = n \times \sqrt{10}\) 중심이 직선 \(y = x\) 위에 있고 두 점 \(A_n\), \(B_n\)을 지나는 원이 곡선 \(y = \log_2 x\)와 만나는 두 점의 \(x\)좌표 중 큰 값을 \(x_n\)이라 하자. \(x_1 + x_2 + x_3\)의 값은?

두 다항함수 \(f(x)\), \(g(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle\int_{1}^{x} t f(t) d t + \displaystyle\int_{-1}^x t g(t) d t = 3x^4 + 8x^3 - 3x^2\) (나) \(f(x) = x g'(x)\) \(\displaystyle\int_{0}^{3} g(x) d x\)의 값은?

방정식 \(\log_3(x+2) - \log_{\dfrac{1}{3}}(x-4) = 3\)을 만족시키는 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f'(x) = 4x^3 - 2x\)이고 \(f(0) = 3\)일 때, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)에 대하여 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k a_k = 36\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^9 k a_{k+1} = 7\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = x^3 + a x^2 - 9x + b\)는 \(x = 1\)에서 극소이다. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(28\)일 때, \(a + b\)의 값을 구하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \sin x - 1 & \quad \text{if } 0 \leq x < \pi \\ -\sqrt{2} \sin x - 1 & \quad \text{if } \pi \leq x \leq 2\pi \end{cases}\)가 있다. \(0 \leq t \leq 2\pi\)인 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x) = f(t)\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 \(t\)의 값의 합은 \(\dfrac{q}{p} \pi\)이다. \(p + q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.)

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 모든 정수 \(k\)에 대하여 \(2k - 8 \leq \dfrac{f(k+2) - f(k)}{2} \leq 4k^2 + 14k\)를 만족시킬 때, \(f'(3)\)의 값을 구하시오.

양수 \(k\)에 대하여 \(a_1 = k\)인 수열 \({a_n}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(a_2 \times a_3 < 0\) (나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\left(a_{n+1} - a_n + \dfrac{2}{3} k\right)(a_{n+1} + k a_n) = 0\)이다. \(a_5 = 0\)이 되도록 하는 서로 다른 모든 양수 \(k\)에 대하여 \(k^2\)의 값의 합을 구하시오.

두 벡터 \(\overrightarrow{a} = (4, 0)\), \(\overrightarrow{b} = (1, 3)\)에 대하여 \(2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (9, k)\)일 때, \(k\)의 값은?

타원 \(\dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)의 두 초점 사이의 거리가 \(6\)일 때, \(b^2\)의 값은? (단, \(0 < b < 4\))

좌표공간의 서로 다른 두 점 \(A(a, -2, 6)\), \(B(9, b, -3)\)에 대하여 선분 AB의 중점이 \(xy\)평면 위에 있고, 선분 AB를 \(2 : 1\)로 내분하는 점이 \(z\)축 위에 있을 때, \(a + b\)의 값은?

좌표평면에서 점 \((3, 0)\)을 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\)인 원을 \(C\)라 하자. 포물선 \(y^2 = 4x\) 위의 점 \((4, 4)\)에서의 접선이 원 \(C\)와 만나도록 하는 자연수 \(r\)의 개수는?

그림과 같이 한 변의 길이가 각각 \(4\), \(6\)인 두 정사각형 ABCD, EFGH를 밑면으로 하고 \(\overline{AE} = \overline{BF} = \overline{CG} = \overline{DH}\)인 사각뿔대 ABCD-EFGH가 있다. 사각뿔대 ABCD-EFGH의 높이가 \(\sqrt{14}\)일 때, 사각형 AEHD의 평면 BFGC 위로의 정사영의 넓이는?

좌표공간에 두 점 \(A(a, 0, 0)\), \(B(0, 10 \sqrt{2}, 0)\)과 구 \(S : x^2 + y^2 + z^2 = 100\)이 있다. \(\angle A P O = \dfrac{\pi}{2}\)인 구 \(S\) 위의 모든 점 P가 나타내는 도형을 \(C_1\), \(\angle B Q O = \dfrac{\pi}{2}\)인 구 \(S\) 위의 모든 점 Q가 나타내는 도형을 \(C_2\)라 하자. \(C_1\)과 \(C_2\)가 서로 다른 두 점 \(N_1\), \(N_2\)에서 만나고 \(\cos(\angle N_1 O N_2) = \dfrac{3}{5}\)일 때, \(a\)의 값은? (단, \(a > 10 \sqrt{2}\)이고, O는 원점이다.)

그림과 같이 두 점 \(F(4, 0)\), \(F'(-4, 0)\)을 초점으로 하는 쌍곡선 \(C : \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)이 있다. 점 \(F\)를 초점으로 하고 \(y\)축을 준선으로 하는 포물선이 쌍곡선 \(C\)와 만나는 점 중 제1사분면 위의 점을 P라 하자. 점 P에서 \(y\)축에 내린 수선의 발을 H라 할 때, \(\overline{PH} : \overline{HF} = 3 : 2\sqrt{2}\)이다. \(a^2 \times b^2\)의 값을 구하시오. (단, \(a > b > 0\))

좌표평면 위에 다섯 점 \(A(0, 8)\), \(B(8, 0)\), \(C(7, 1)\), \(D(7, 0)\), \(E(-4, 2)\)가 있다. 삼각형 AOB의 변 위를 움직이는 점 P와 삼각형 CDB의 변 위를 움직이는 점 Q에 대하여 \(|\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{OE}|^2\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M + m\)의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.)